专题38直线与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案

这是一份专题38直线与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案，共15页。学案主要包含了关键能力，教学建议，自主梳理，高频考点+重点题型，距离问题，对称问题等内容，欢迎下载使用。

专题38直线与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
二、教学建议
通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．初步建立代数表征几何元素的解析：意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析世界，用数学的语言来表达世界．
通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力．
三、自主梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　

四、高频考点+重点题型

考点一、斜率与倾斜角之间的关系
例1-1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，π4]∪[3π4，π)
C．[0，π4] D．[0，π4]∪(π2，π)
【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，
设直线的倾斜角为α，
则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，
∴3π4≤α＜π或0≤α≤π4．
∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．
故选：B．
例1-2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（　　）
A．α B．π2+α C．π﹣α D．﹣α
【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：-cosαsinα=-cotα.0＜α＜π2，
∴直线的倾斜角为β．tanβ＝﹣cotα＝tan（π2+α）．
∴β=π2+α．
故选：B．
例1-3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是　 　．
【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），
∴直线AP的斜率k1=-3-2-2+1=5．同理可得直线BP的斜率k2=-12．
设直线l与线段AB交于M点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
直线BP的斜率，此时l的斜率k≤-12．
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，-12]∪[5，+∞）．
故答案为：（﹣∞，-12]∪[5，+∞）

例1-4.已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．
解析：点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)＞0，解得－＜a＜－1，即直线l的斜率的范围是(－，－1)，故其倾斜角的取值范围是.
答案：


考点二、直线方程
例2-1. 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
例2-2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　3　．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴直线AB的方程是：x3+y4=1，即4x+3y﹣12＝0，
设 P（x，y），则x＝3-34y，
∴xy＝3y-34y2=-34（y﹣2）2+3≤3．
当且仅当y＝2，x=32时，取等号，
∴xy的最大值是3．
故答案为：3．
例2-3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=42-32=7，
设点P（0，m）（0＜m＜7），
∵直线AC的方程为x3+y7=1，即7x+3y﹣37=0，
∴点P（0，m）到直线7x+3y﹣37=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=|3m-37|(7)2+32=34|m-7|=34（7-m），
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）＝m•34（7-m）≤34•(m+(7-m)2)2=34•74=2116（当且仅当m=72时取“＝”）．
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为2116．



考点三、截距的使用

例3.已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．
[解析]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

对点训练1.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小．
[答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2)



考点四、两直线位置关系判断

例4-1．k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】①当k＝5时，
直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：4x﹣2y+3＝0平行；
②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，
则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，
解得，k＝3或k＝5．
故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．
故选：A．
例4-2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________．

解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0＜＜，故的取值范围为.

故答案为：﹣4
例4-3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），
（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，
已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，
解方程组：x+y=02x-3y+1=0得：x=-15y=15，
∴△ABC的垂心坐标（-15，15）；
（2）∵点A的坐标为（1，2），
根据直线方程的两点式得：
y-215-2=x-1-15-1 即：3x﹣2y+1＝0．
∴BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．
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例4-4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－ 例4-5.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0,mx－y－1＝0不能构成三角形,则实数m的取值集合为(　　)
A． B． C． D．
解析：三线共点时也不能围成一个三角形．
由,
解得 交点P为
代入mx－y－1＝0,则m＝－.
故选D．

考点五、距离问题

例5-1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（　　）
A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝﹣4x D．y＝x或y=12x
【解答】解：①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率为4-21-(-1)=1，
此时直线l的方程为y＝x；
②当直线l过线段AB的中点时，AB中点的坐标为（0，3），
此时直线l的方程为x＝0．
故选：A．
例5-2．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．
【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，
∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），
则A（-4k+1，0），B（0，﹣k+4），
∴|OA|+|OB|=-4k+1+(-k+4)
＝（-4k-k）+5≥2(-4k)⋅(-k)+5＝9，
当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣6＝0．
②由①知|PA|•|PB|=(-4k+1-1)2+42•12+(-k+4-4)2
=16(k2+1)2k2=-4k(k2+1)=4（-1k-k）≥4⋅2(-1k)⋅(-k)=8，
当且仅当k＝﹣1时取等号，
∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．
例5-3.曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．
解析　(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为＝.
例5-4．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为______________________．
解析：设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB所在直线的斜率kAB＝＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立解得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
答案：(1，－4)或

考点六、对称问题

例6-1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B.(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．

例6-2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是　 　．
【解答】解：联立x+3y-1=0x-y+1=0，解得x=-12y=12．其交点为M(-12，12)．
在直线x+3y﹣1＝0上取一点P（1，0），设点P关于直线x﹣y+1＝0的对称点为Q（m，n），则m+12-n2+1=0nm-1×1=-1解得m=-1n=2，即Q（﹣1，2）．
∴直线MQ的方程为y-2=12-2-12-(-1)(x+1)，化为3x+y+1＝0，即为所求．
故答案为3x+y+1＝0．
例6-3．若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点　 　．
【解答】解：∵直线l1：y＝k（x﹣4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），
又直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点N（0，2），
故答案为（0，2）．
例6-4．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
故答案是：8x﹣y﹣24＝0．
例6-5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

A．210 B．6 C．33 D．25
【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4＝0的对称点P″（a，b）
∴b-0a-2×(-1)=-1a+22+b+02-4=0，解得a=4b=2，
∴光线所经过的路程|P′P″|＝210，
故选：A．
例6-6.已知两点A(2,3)，B(4,1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P，
(1)使|PA|＋|PB|最小；
(2)使|PA|－|PB|最大.
解　(1)如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).

则有解得
由两点式求得直线A′B的方程为y＝(x－4)＋1，由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，|PA|＋|PB|最小，此时|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|，若P不在此点时，|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＞|A′B|，即直线A′B与l的交点为P.
(2)由两点式求得直线AB的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0.由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，|PA|－|PB|最大，此时|PA|－|PB|＝|AB|.
直线AB与l的交点为所求点P(8，－3).



巩固训练
一、单项选择题
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
答案：C
解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1，故选C．
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A．　　　 　　B．　　　　 C．－　　　　　 D．－
答案：A
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝，故选A．
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知
△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
答案：B
解析：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0. 故选B．
4．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)
A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0
答案：D
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0．
5．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. 　　　　B. 　　　　C.　　　　D. ∪
答案：C
解析：①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是，故选C．
6．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案：D
解析：设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0．
二、多项选择题
7．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1与l2都不垂直
答案：ABD
解析：对于A，当k＝0时，直线l2为x＝0，倾斜角为90°，正确；
对于B，直线l1与l2均过点(0，－1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，正确；
对于C，当k＝－时，直线l2为x－y－＝0，与l1重合，错误；
对于D，直线l1的斜率为1，l2的斜率－≠－1，所以l1与l2不可能垂直，正确．
故选ABD．
8．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
答案：BCD
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
故选BCD．

三、填空题
9．已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．
答案：－3
解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC．∴＝，∴x＝－3．
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为___________．
答案：a≤－1
解析：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或∴a≤－1．
综上可知a的取值范围是a≤－1．
11．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．
答案： 2
解析： 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2．


12．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案：3
解析：直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3．即当P点坐标为时，xy取最大值3．
四、解答题
13．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解析：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0．

14．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
答案：(3＋)x－2y－3－＝0
解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x．
设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，
所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0．