专题45 直线与方程（解析版）学案

专题45  直线与方程

【热点聚焦与扩展】

高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧.

（一）直线与方程：

1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示

（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为

（2）倾斜角的取值范围

2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为

（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）越大，直线越陡峭

（5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关

（1）一点一方向：

① 点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：

证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程

② 斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为：

证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得：

化简可得：

（2）两点确定一条直线：

③ 两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为：

④ 截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：

证明：从已知截距可得：直线上两点，所以

⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式

一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果

                  可用于判定直线的平行垂直关系

                 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式

5、五种直线形式所不能表示的直线：

（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）

（2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线

             ② 截距为0的直线：过原点的直线

6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

（二）直线位置关系：

1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合

如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况.

2、直线平行的条件

（1）斜截式方程：设直线

①

② 若直线的斜率存在，则

（2）一般式方程：设，则

① 当时，∥

② ，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线）

3、直线垂直的条件：

（1）斜截式方程：设直线，则

（2）一般式方程：设，则：

4、一般式方程平行与垂直判定的规律：

     可选择与一般式方程对应的向量：，即有：

，从而的关系即可代表的关系，例如：

（注意验证是否会出现重合的情况）

（三）距离问题：

1、两点间距离公式：设，则

2、点到直线距离公式：设

则点到直线的距离

3、平行线间的距离：

则的距离为

（四）对称问题

1、中心对称：

（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点

（2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称的点满足：

2、轴对称

（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上

（2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足：

，解出即可

（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为

① 若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等

② 若与相交于 ，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线

（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）

1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值

（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）

（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）

2、过定点的直线：

（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可

（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）

3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数8】点到直线距离的最大值为 （   ）

A．                      B．                C．             D．

【答案】B

【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果．

【解析】由可知直线过定点，设，

当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．

故选：B．

【专家解读】本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记公式．

例2．（2020·河南高三三模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为a，b（），若直线，，则直线的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，基本事件共36个，若直线，则满足且，所以包括的基本事件为①，；②，；当，时，直线和重合，不合题意，所以直线的概率为.故选：B.

例3．（2020·全国衡水·高三三模）已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为(    )

A．3 B．-4 C． D．

【答案】D

【解析】由题意知：，.

故选D

例4．（2020·霍邱县第二中学高三三模）抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），
点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离

∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．
故选D．

例5．（2020·江西省信丰中学三模）已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设直线的倾斜角为，则斜率，所以直线的倾斜角为，斜率，又经过点（1,0），所以直线方程为，即，选D.

例6．（2020·山东高三三模）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】动直线过定点，动直线

即过定点，且此两条直线垂直．

∴点P在以AB为直径的圆上，，

设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]

，

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，

∴sin（θ+）∈[，1]，

∴∈[，2]，

故选：D．

例7．（2020·全国高三三模）已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)

A．2x＋3y＋5＝0 B．2x－3y＋5＝0

C．3x＋2y＋5＝0 D．3x－2y＋5＝0

【答案】D

【解析】∵坐标原点关于直线：的对称点为

∴

∵直线经过点

∴点到直线的距离

∴点到直线的距离最大为，此时

∴直线的方程为，即.

故选D.

例8．（2020·越秀·广东实验中学高三三模）已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，如下图所示：

延长分别交、、于点、、，

过点作轴，垂足为点，则，

由对称性结合图形可知，，

且有，，，

所以，，

在中，.

故选：B.

【精选精练】

1．（2020·天津滨海新·高三三模）已知直线：，：，其中，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，直线：，：，

当时，可得，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

2．（2020·上海高三三模）直线的倾斜角是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】线，则，故倾斜角为.故选：C.

3．（2020·全国高三三模）直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A．                    B．

C．          D．

【答案】B

【解析】直线的斜率为，

，

根据正切函数的性质可得

倾斜角的取值范围是

故选：．

4．（2020·上海高三三模）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当直线平行于时，，

当直线平行于时，，

当直线平行于时，，无解，

当三条直线经过同一个点时，把直线和的交点代入

，解得或.

综上，满足条件的的值为或或或，共个.故选：C.

5．（2020·四川高三三模）已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（    ）

A．①② B．①④ C．②③ D．①②④

【答案】D

【解析】由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，

则圆心到直线的距离为：，

∴，

而，与的面积相等，

∴或，

即到直线的距离或时满足条件，

根据点到直线距离可知，①②④满足条件.

故选：D.

6．（2020·河南宛城·南阳中学高三三模）过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】整理得，

由题意得，解得，

所以直线过定点.

因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，

因为圆心到直线的距离为，

所以到直线的距离的最大值为.

7．（2020·山东潍坊·高三三模）“”是“直线与直线垂直”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若直线与直线相互垂直，

则，即，

解得或，

则“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故选：B.

8．（2020·湖北武汉·高三三模）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【解析】根据题意画出图形，如图所示：

设点关于直线的对称点，

连接，则即为的最小值，且.

故选：.

9．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　

A． B．5 C． D．

【答案】C

【解析】动直线，令，解得，因此此直线过定点．

动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点．

时，两条直线分别为，，交点，．

时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．

设，

又

当且仅当时等号成立

．

综上可得：的面积最大值是．

故选：．

10．（2020·陕西渭南·高三三模）唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点A关于直线的对称点，，

的中点为，故解得，，

要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，

即为点和圆上的点连线的最小值，为点和圆心的距离减半径，

“将军饮马”的最短总路程为，

故选:B

11．（2020·安徽巢湖·高三三模）设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【解析】是方程的两个实根，

，

两条直线之间的距离

，

，

两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，

故选

12．（2020·江苏建邺·高三三模）过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】：直线，即，

由，求得，直线经过定点．

由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，

可得圆心为PQ的中点，半径为，

则与M的最大值为，

则与M的最小值为，

故MN的范围为：，

故选：B．