高中数学苏教版必修53.3.3 简单的线性规划问题教案

教学目标：

一、知识与技能　　

1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；

2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；

3. 通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；

    4. 正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识．

二、过程与方法

经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及

数学应用意识．

三、情感、态度与价值观

1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；

2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；

3. 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点．

教学重点：　　

线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；

教学难点：

把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解．

教学方法：

应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．

采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力．

教学过程：

一、             问题情景

1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．

某校办工厂有方木料，五合板600，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料，五合板2，生产每个书橱需要方木料，五合板1，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元．

（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．

（2）设生产书桌张，书橱张，利润元，写出x，y应满足的条件以及与x，y之间的函数关系式．

（3）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？                    

二、学生活动

1. 让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．

生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80×300＝24000元，但方木料没有用完．

生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120×450＝54000元，但五合板没有用完．

师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？

生丙：设生产书桌张，书橱张，利润元，利用线性规划．

师：应满足什么约束条件呢？目标函数是什么？

生丙：约束条件为目标函数为，这个问题转化为求目标函数的最大值问题．

师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？

生丁：作出可行域，作出一组平行直线，

当直线经过点时，直线的纵截距最大，

即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，

有最大利润为元．

师：解决本题的关键在哪儿？

生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解．

师：哪些应用题可以用线性规划来处理？

生：（讨论，再次观察例题，总结，教师补充）一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．（即“少投入，多产出”）

三、建构数学

1. 线性规划问题的求解步骤：

（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；

（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；

（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；

（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：回答实际问题．

2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．

四、数学运用

1. 例题.

例1　某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？

解　设甲、乙两种产品的产量分别为x， y件，工厂所获利润z万元，

约束条件为，目标函数是．

作出可行域（如图所示），可行域内的每一个整点就代表所有可能的日生产安排．

将目标函数变形为，这是斜率为，

在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，最大值为，因此，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大利润14万元．

例2　投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m，问　应作怎样的组合投资，可获利最大？

分析：

解　设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，

利润为S百万元，则约束条件为：

目标函数为，

作出可行域（如图所示），将目标函数变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，S最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，此时,因此，生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元．

例3　营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少千克？

分析　

解　设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z元，则线性约束条件为：

①，

目标函数为：

不等式①等价于    ②，

作出可行域如图：

考虑可变形为，这是斜率为、随z变化的一组平行直线，是直线在y轴上的截距，当取最小值时，z的值最小，且直线要与可行域相交，由上图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．

解方程组，得M的坐标为，所以．

由此可知，每天食用A食物143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．

2.　练习．

（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？

解　设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，

约束条件为，

目标函数是．

作出可行域（如图所示）

将目标函数变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，工厂可得最大收入800千元．

（2）某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？

解　设开设初中班x个，高中班y个，收取学费的总额为z万元．

满足的约束条件为，目标函数为，

可行域如图，把，得到斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．

当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过可行域上的点M时，直线在y轴上的截距最大，z最大．

解方程组

所以．

由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元．

五、要点归纳与方法小结：

本节课学习了以下内容：

1. 线性规划问题的求解步骤：

（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；

（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；

（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；

（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（5）求：通过解方程组求出最优解；

（6）答：回答实际问题．

2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．

3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．