高中数学苏教版必修5第3章 不等式3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3 简单的线性规划问题教学设计
展开教学目标：
1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．
教学重点：
用图解法求线性规划问题的最优解．
教学难点：
对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．
教学方法：
1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法——图解法．
2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？
为理解题意，可以将已知数据整理成下表：（投影）
| A种原料（t） | B种原料（t） | 利润（万元） |
甲种产品（1t） | 4 | 12 | 2 |
乙种产品（1t） | 1 | 9 | 1 |
现有库存（t） | 10 | 60 |
|
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y，根据题意，A、B两种原料分别不得超过10t和60t，即，即．
这是一个二元一次不等式组，此外，产量不可能是负数,所以 ③
于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件④下，求出x，y，使利润（万元）达到最大．
2．问题：上述问题如何解决？
二、学生活动
①让学生探究解决这个问题分几个步骤；
②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到取得最大值的数对（x，y）；
③由学生整理解决这个问题的思路．
（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑的几何意义，将变形为，它表示斜率为－2，在y轴上截距为P的一条直线．平移直线，当它经过两直线与的交点A（1.25，5）时，直线在y轴上的截距P最大．
因此，当时，取得最大值，即甲、乙两种产品分别生产1.25t和5t时，可获得最大利润7.5万元．
三、数学建构（投影）
1．目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解．
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为目标函数．由于又是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．
那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域．其中可行解（一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）列出线性约束条件及写出目标函数；
（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；
（3）通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；
（4）用图形的直观性求最值；
（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题的实际意义．
3．应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：
（1）能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；
（2）要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；
（3）所求的目标函数是受条件约束的；
（4）约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；
（5）约束条件中所涉及的变量不超过3个．
四、数学运用
例1 若已知满足求的最大值和最小值．
解 约束条件，是关于的一个二元一次不等式组；
目标函数：是关于的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图）；
可行解 所有满足［即三角形区域内（包括边界）的点的坐标的实数都是可行解；
最优解 ，即可行域内一点，使得一组平行线为参数）中的z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解．当直线，即过三角形区域，且纵截距取最值时，z有最值，即目标函数z有最值．由图知，当l过B（1,1）点和A（5,2）时，z有最小值和最大值．
，
．
例2 已知满足不等式组求使取最大值的整数的值．
解 不等式组的解集为三直线：
所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为A，B，C，则A，B，C坐标分别为．
作一组平行线平行于，
当l往l0右上方移动时，t随之增大，
∴当l过C点时最大为，但不是整数解．
又由知x可取1，2，3，
当x＝1时，代入原不等式组得y＝－2，∴ x＋y＝－1；
当x＝2时，得y＝0或－1， x＋y＝2或1；
当x＝3时，y＝－1， x＋y＝2．
故x＋y的最大整数解为或．
练习：
设，式中x，y满足条件求z的最大值或最小值．
五、回顾反思
本节课的主要内容为：
1．目标函数，线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；
3．应用线性规划的图解方法，必须具备的条件．
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