教科版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动位移与时间的关系学案

这是一份教科版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动位移与时间的关系学案，共10页。

3　匀变速直线运动位移与时间的关系
[学习目标]　1.理解匀变速直线运动位移与时间的关系，会用位移公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题.2.知道v－t图像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式．

匀变速直线运动位移与时间的关系
1．利用v－t图像求位移(如图1)

图1
v－t图像中，对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围成的梯形面积，在数值上等于在时间t内的位移值．
2．匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式)：x＝v0t＋at2.

1．判断下列说法的正误．
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．(×)
(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．(×)
(3)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移大小相等．(√)
(4)如果a＜0，由位移公式x＝v0t＋at2，知位移随着时间逐渐减小．(×)
2．一辆汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s末汽车的速度为________m/s,5 s内汽车的位移为________m.
答案　20　75



一、匀变速直线运动位移与时间的关系
导学探究　

图2
如图2所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a，利用位移大小等于v－t图线下面梯形的面积，推导匀变速直线运动的位移与时间关系．
答案　如题图所示，v－t图线下面梯形的面积x＝(v0＋vt)t①
又因为vt＝v0＋at②
由①②式可得x＝v0t＋at2.
知识深化
1．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
3．当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
一辆卡车初速度为v0＝10 m/s，以a＝2 m/s2的加速度行驶，求：
(1)卡车在6 s内的位移大小x6.
(2)卡车在第6 s内的位移大小xⅥ.
答案　(1)96 m　(2)21 m
解析　(1)卡车在6 s内的位移x6＝v0t6＋at62＝(10×6＋×2×36) m＝96 m
(2)卡车在第6 s内的位移
xⅥ＝x6－x5＝x6－(v0t5＋a·t52)＝96 m－(10×5＋×2×25) m＝21 m.
一物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，求物体在停止运动前1 s内的位移．
答案　0.5 m
解析　方法一：基本公式法
由vt＝v0＋at，可得物体运动的总时间t＝＝ s＝10 s
总位移x1＝v0t＋at2＝[10×10＋×(－1)×102] m＝50 m
前9 s内的位移x2＝v0t′＋at′2＝[10×9＋×(－1)×92] m＝ m
则停止运动前1 s内的位移x＝x1－x2＝50 m－ m＝0.5 m
方法二：逆向思维法
该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝a′t12＝×1×12 m＝0.5 m.

逆向思维法
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看成逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．
加速度公式和位移公式变为vt＝at，x＝at2，计算更简捷．
二、刹车问题
一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案　(1)30 m　(2)40 m
解析　汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度vt＝0，加速度a＝－5 m/s2，汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.
(1)因为t1＝2 s 故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m.


刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t 三、v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和．
(多选)某物体做直线运动的v－t图像如图3所示．则关于物体在前8 s内的运动，下列说法正确的是(　　)

图3
A．前8 s内的位移为16 m
B．第6 s末物体离出发点最远
C．0～4 s内的平均速度大于0～8 s内的平均速度
D．第4～6 s内与第6～8 s内的加速度方向相反
答案　BC
解析　v－t图线与时间轴围成的“面积”表示位移，所以前8 s内的位移x＝×6×4 m－×4×2 m＝8 m，A错误；第6 s末速度方向发生改变，第6 s末物体离出发点最远，B正确；0～4 s内和0～8 s内的位移相等，均是x′＝×4×4 m＝8 m，而前4 s内的平均速度4＝＝＝2 m/s，前8 s内的平均速度8＝＝＝1 m/s，C正确；第4～6 s内和第6～8 s内的加速度均为－2 m/s2，D错误．



1．(位移公式的理解)(多选)(2020·临川一中高一期末)某质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点(　　)
A．加速度为2 m/s2
B．前2 s内位移为18 m
C．第2 s内的位移是18 m
D．前2 s内的平均速度是9 m/s
答案　BD
解析　根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，可得质点的初速度v0＝5 m/s，加速度为a＝4 m/s2，故A错误；前2 s内的位移x2＝5×2 m＋2×22 m＝18 m，B正确；第2 s内的位移Δx2＝x2－x1＝18 m－7 m＝11 m，故C错误；前2 s内的平均速度为＝＝9 m/s，故D正确．
2．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为(　　)
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
答案　B
解析　第2 s末的速度v＝v0＋at2，第2 s末的速度是第3 s的初速度，故第3 s内的位移x3＝(v0＋at2)t＋at2，即4.5 m＝(2.0 m/s＋2 s·a)×1 s＋a×(1 s)2，解得a＝1.0 m/s2，故B正确．
3.(v－t图像的综合应用)(2021·山西大学附中月考)如图4是某物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体(　　)

图4
A．0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B．0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不等
D．第3 s内和第4 s内的加速度不相同
答案　B
解析　0～2 s内物体的位移x2＝ m＝1.5 m，则平均速度2＝＝0.75 m/s；0～4 s内物体的位移x4＝1.5 m＝x2，则平均速度4＝＝0.375 m/s，A错，B对．第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错．第3 s 内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错．
4．(刹车问题)一辆汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
答案　见解析
解析　设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝＝ s＝5 s
(1)根据速度方程有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋at02＝25 m.


考点一　位移公式x＝v0t＋at2
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．位移与时间的二次方成正比
B．位移总是随着时间的增大而增大
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
答案　D
解析　根据x＝v0t＋at2可知，位移与时间的二次方不是正比关系，选项A错误；位移可能随时间的增大而增大，也可能随时间的增大而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增大后减小，选项B错误；匀变速直线运动中，加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，选项C错误，D正确．
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为(　　)
A. B. C．2t D．4t
答案　C
解析　由x＝at2和4x＝at′2得：t′＝2t，故C对．
3．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为(　　)
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案　B
解析　第10 s内位移等于前10 s内位移与前9 s内的位移之差，故由x＝at2有，a×(10 s)2－a×(9 s)2＝19 m，得a＝2.0 m/s2，选项B正确．
4．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有(　　)
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
答案　C
解析　设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，
则L＝at12，nL＝at22.
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．
考点二　v－t图像求位移
5．(多选)做直线运动的某物体的v－t图像如图1所示．由图像可知(　　)

图1
A．前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B．15 s末物体回到出发点
C．15 s内物体位移为37.5 m
D．前10 s内的平均速度为2.5 m/s
答案　ACD
解析　在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体做加速运动，加速度为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物体做减速运动，加速度为a2＝＝ m/s2＝－1 m/s2，图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在15 s内的位移为x＝×15×5 m＝37.5 m．前10 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.5 m/s.
6．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图2所示，那么0～t和t～3t两段时间内(　　)

图2
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　两段时间内的加速度大小分别为a1＝，a2＝，故a1∶a2＝2∶1，A错．两段时间内的位移分别为x1＝vt，x2＝v·2t，故x1∶x2＝1∶2，B对．两段时间内的平均速度1＝2＝，C错，D对．

7．一辆汽车在水平路面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3 s内的位移是(　　)
A．12 m B．18 m C．24 m D．30 m
答案　C
解析　对比公式x＝v0t＋at2可得v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，汽车静止所需时间为t＝＝2 s，所以前3 s内的位移等于前2 s内的位移，故x＝24×2 m－6×22 m＝24 m，C正确．
8．(多选)一列由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述正确的是(　　)
A．前10 s内通过的位移为10 m
B．每秒速度变化0.2 m/s
C．10 s内平均速度为1 m/s
D．第10 s内的位移为2 m
答案　ABC
解析　由vt＝at，得a＝0.2 m/s2，故前10 s内的位移x＝at2＝×0.2×102 m＝10 m，选项A、B正确.10 s内平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，选项C正确．第10 s内的位移为x10＝at2－a(t－1)2＝1.9 m，选项D错误．
9．(多选)(2020·黄冈高一期末)某人骑自行车以5 m/s的初速度匀减速骑上一个长为30 m的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则(　　)
A．他不能到达坡顶
B．他到达坡顶需用10 s时间
C．他到达坡顶需用15 s时间
D．他到达坡顶时的速度为1 m/s
答案　BD
解析　根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，可得30＝5t－×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为他经过t＝＝12.5 s，速度减为零)，故A、C错误，B正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at1＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D正确．
10．(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是(　　)
A．初速度v0的大小为2.5 m/s
B．加速度a的大小为1 m/s2
C．位移x3的大小为1.125 m
D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
答案　BCD
解析　由位移公式可知，
v0×1 s＋a×(1 s)2＝3 m①
v0×2 s＋a×(2 s)2－3 m＝2 m②
由①②联立得v0＝3.5 m/s，a＝－1 m/s2
故A错误，B正确；2 s末速度为v＝v0＋at2＝3.5 m/s－1 m/s2×2 s＝1.5 m/s，则物体速度减为0所用时间为t＝＝＝1.5 s，则x3＝·t＝×1.5 m＝1.125 m，故C正确；位移x3内平均速度大小＝＝0.75 m/s，故D正确．
11．一辆汽车以v0＝10 m/s的速度在平直公路上匀速运动，刹车后经过2 s速度变为6 m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6 s内发生的位移大小；
(2)汽车静止前2 s内通过的位移大小．
答案　(1)25 m　(2)4 m
解析　(1)汽车刹车时的加速度：
a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，
则汽车速度减为零所需的时间：
t0＝＝ s＝5 s＜6 s.
则6 s内的位移等于5 s内的位移：
x＝v0t0＋at02＝10×5 m＋×(－2)×52 m＝25 m.
(2)将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则汽车在静止前2 s内的位移：
x′＝a′t′2＝×2×22 m＝4 m.
12．一滑块由静止开始，从斜面顶端匀加速下滑(斜面足够长)，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度大小；
(2)运动后7 s内的位移大小；
(3)第3 s内的位移大小．
答案　(1)4.8 m/s　(2)29.4 m　(3)3 m
解析　(1)v4∶v5＝at4∶at5＝4∶5
则第4 s末的速度为v4＝v5＝4.8 m/s.
(2)a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2
则运动后7 s内的位移大小为
x7＝at72＝×1.2×72 m＝29.4 m.
(3)第3 s内的位移大小为xⅢ＝x3－x2＝at32－at22＝(×1.2×32－×1.2×22) m＝3 m.