高中物理4 匀变速直线运动规律的应用导学案及答案

这是一份高中物理4 匀变速直线运动规律的应用导学案及答案，共10页。


一、匀变速直线运动速度与位移的关系
导学探究 某高速列车以加速度a做匀加速直线运动，当它的速度由v0增大到vt时，通过的位移为x，试推导其速度与位移的关系式．
答案 由速度方程vt＝v0＋at，得t＝eq \f(vt－v0,a)
位移x＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝eq \f(v t 2－v02,2a)
则vt 2－v02＝2ax
知识深化
对速度与位移的关系vt 2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)vt＞0，速度的方向与初速度方向相同，vt＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、vt、a、x中已知三个量可求第四个量．
(2020·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v02＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq \r(－2ax)＝eq \r(－2×－5×10) m/s＝10 m/s，故B正确．
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)通过隧道所用的时间；
(3)列车的中点经过隧道中点时的速度．
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s (3)11 m/s
解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
vt＝12 m/s，由vt2－v02＝2ax得
加速度a＝eq \f(vt2－v02,2x)＝0.02 m/s2.
(2)由vt＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(vt－v0,a)＝100 s.
(3)列车的中点经过隧道中点时，列车通过的位移为eq \f(x,2)，则 2－v02＝2a·eq \f(x,2)
解得＝eq \r(122) m/s≈11 m/s.
(解法二：由vt2－v02＝2ax和2－v02＝2a·eq \f(x,2)
联立，得＝eq \r(\f(v02＋v t 2,2))＝eq \r(\f(102＋122,2)) m/s≈11 m/s)
1．注意：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度不同，匀变速直线运动位移中点的瞬时速度＝eq \r(\f(v t 2＋v02,2))，时间中点的瞬时速度＝eq \f(v0＋vt,2).
2．可以证明不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
(多选)一物体由静止开始做匀加速直线运动，第4 s内的位移是14 m，下列说法正确的是( )
A．第5 s内的位移为18 m
B．前4 s内的位移为32 m
C．物体加速度为4 m/s2
D．物体前2 s内的平均速度为2 m/s
答案 ABC
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动，x1∶x2∶x3∶x4∶x5＝1∶3∶5∶7∶9，x5＝eq \f(9,7)x4＝18 m，故A正确；x1＝eq \f(1,7)x4＝2 m，又x1＝eq \f(1,2)at12，可得a＝4 m/s2，故C正确；同理，x2＝6 m，x3＝10 m，前4 s内位移x＝x1＋x2＋x3＋x4＝32 m，故B正确；物体前2 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x1＋x2,t2)＝eq \f(2＋6,2) m/s＝4 m/s，故D错误．
(多选)水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图1所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)( )
图1
A．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3).则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故A错误，B正确.
1．(速度与位移的关系)在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车( )
A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2
答案 C
解析 为避免危险发生，则列车从刹车开始到停止运动滑行的最大位移为x＝900 m，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0
取列车前进方向为正方向，
由v2－v02＝2ax得：a＝－2 m/s2
即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C正确．
2．(速度与位移的关系)(2020·西安电子科技大学附属中学太白校区高一期末)已知某航母上的飞机跑道长200 m，某型飞机在该航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为70 m/s则飞机在滑行前需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )
A．30 m/s B．40 m/s
C．50 m/s D．60 m/s
答案 C
解析 根据vt2－v02＝2ax可得
v0＝eq \r(v t 2－2ax)＝eq \r(702－2×6×200) m/s＝50 m/s，C正确．
3.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)(多选)(2021·扬州中学月考)如图2所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
图2
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
D．下滑全程的平均速度eq \x\t(v)＝vB
答案 ACD
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝eq \r(x)，A正确；通过各段所用时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，故B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故eq \x\t(v)＝vB，D正确．
4．(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
答案 A
解析 由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确，B、C、D错误．
考点一 速度与位移的关系vt2－v02＝2ax
1．如图1所示，一辆以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m时的速度为( )
图1
A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
解析 由vt2－v02＝2ax得vt＝eq \r(v02＋2ax)＝10 m/s.
2．如图2所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
图2
A.eq \f(5,2)x B.eq \f(5,3)x C．2x D．3x
答案 B
解析 由vt2－v02＝2ax得(10 m/s)2－(5 m/s)2＝2ax，(15 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax′；两式联立可得x′＝eq \f(5,3)x，故B正确．
3．(2020·贺州市桂梧高中高一月考)如图3所示，国产某品牌汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统，系统以50 Hz的频率监视前方的交通状况．当车速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，加速度大小约为4 m/s2，使汽车避免与障碍物相撞．则“全力自动刹车”系统设置的安全距离约为( )
图3
A．40 m B．12 m
C．12.5 m D．2 m
答案 C
解析 由题意知，车速v≤10 m/s，系统立即启动“全力自动刹车”的加速度大小约为4 m/s2，最后末速度减为0，由v2＝2ax可得：x＝eq \f(v2,2a)≤eq \f(102,2×4) m＝12.5 m，所以系统设置的安全距离约12.5 m，故C正确，A、B、D错误．
4．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1
答案 B
解析 小车的末速度为0时，运动的位移最大，由vt2－v02＝2ax得
eq \f(x1,x2)＝eq \f(v012,v022)＝eq \f(1,4)，选项B正确．
5．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是eq \f(v,2)时，下滑的距离是( )
A.eq \f(l,2) B.eq \f(\r(2)l,2) C.eq \f(l,4) D.eq \f(3l,4)
答案 C
解析 由vt2－v02＝2ax知v2＝2al；当速度为eq \f(v,2)时有(eq \f(v,2))2＝2al1，得l1＝eq \f(l,4)，C正确．
考点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
6．一质点由静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为( )
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案 C
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
7．一辆汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为( )
A．1∶2∶3 B．5∶3∶1
C．1∶4∶9 D．3∶2∶1
答案 B
解析 刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动．根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5，所以刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为5∶3∶1.
8．(2020·抚顺重点高中协作校高一上学期期末)一观察者站在第一节车厢前端，设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计，当列车从静止开始做匀加速运动时，下列说法中正确的是( )
A．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…
C．在相等时间里经过观察者的车厢速度之比是1∶22∶32∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
答案 D
9．(2020·合肥市第六中学高一月考)高速公路ETC电子收费系统如图4所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离．某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆．已知司机的反应时间为0.6 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
图4
A．3.6 m B．5.4 m
C．6.6 m D．9.0 m
答案 D
解析 初速度v0＝21.6 km/h＝6 m/s，识别时间和反应时间共t1＝0.9 s，此段时间内做匀速直线运动，位移：x1＝v0t1＝5.4 m，之后开始做匀减速直线运动，由位移与速度的关系式有：v02＝2ax2，解得x2＝3.6 m，则总长度为：x＝x1＋x2＝9.0 m，故选D.
10.如图5所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图5
A.eq \f(2v1＋v2,3) B.eq \r(\f(2v12＋v22,3))
C.eq \r(\f(v12＋v22,3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹运动的加速度大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝ eq \r(\f(2v12＋v22,3)).故正确答案为B.
11.如图6所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
图6
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(x2,x1)＝2，即a1＝2a2.
12．冰壶比赛是在水平面上进行的体育项目，比赛场地如图7所示，投掷线AB到圆心O点的距离为30 m．比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰面光滑而减小减速时的加速度．若不擦冰面时，冰壶减速的加速度a1＝－0.08 m/s2，擦冰面后加速度减小至a2＝－0.04 m/s2.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线AB中点处以2 m/s的速度沿虚线滑出．
图7
(1)若运动员不用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，冰壶将停在距投掷线AB水平距离多远的位置？
(2)为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员应该从离投掷线多远的地方开始用毛刷擦冰面一直擦到圆心O点？
答案 (1)25 m (2)20 m
解析 (1)若运动员不用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，
对冰壶有0－v02＝2a1x
x＝eq \f(－v02,2a1)＝eq \f(4,2×0.08) m＝25 m.
(2)设在距离投掷线x1处开始用毛刷擦冰壶运行前方的冰面一直擦到圆心O点，此时速度为v1，
v12－v02＝2a1x1，
0－v12＝2a2(30 m－x1)
联立解得x1＝20 m
故在距离投掷线20 m处开始用毛刷擦冰壶运行前方的冰面一直擦到圆心O点．
13.如图8所示，AB为进入弯道前的一段平直公路，其长度xAB＝218 m，BC为水平圆弧形弯道．摩托车在直道上行驶的最大速度v1＝40 m/s，为确保弯道行车安全，摩托车进入弯道前必须减速，到达B点进入弯道时速度v2不能超过20 m/s，要求摩托车从A点由静止开始在最短的时间内走完AB这段直道，已知摩托车加速时最大加速度大小a1＝4 m/s2，制动时最大加速度大小a2＝8 m/s2.试根据上述数据求摩托车在AB这段直道上行驶所用的最短时间．
图8
答案 11 s
解析 摩托车加速到某一速度v3然后再匀减速至v2进入圆弧形弯道，所用时间最短．设摩托车在直道上加速的时间为t1，加速的位移为x1，减速的时间为t2，减速的位移为x2，由运动学公式得x1＝eq \f(v32,2a1)，x2＝eq \f(v22－v32,－2a2)，x1＋x2＝xAB，联立解得v3＝36 m/s，v3<40 m/s，则t1＝eq \f(v3,a1)＝
9 s，t2＝eq \f(v2－v3,－a2)＝2 s，t＝t1＋t2＝11 s，故摩托车在直道上行驶所用的最短时间为11 s.