高中数学2.2双曲线优秀课后作业题

这是一份高中数学2.2双曲线优秀课后作业题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
双曲线方程为x2－2y2=2，则它的左焦点坐标为( )
A.(－eq \f(\r(2),2)，0) B.(－eq \f(\r(5),2)，0) C.(－eq \f(\r(6),2)，0) D.(－eq \r(3)，0)
已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P位于该双曲线上，
线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2=1 B.x2－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)=1 D. eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)=1
双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)=1的焦距为( )
A.3eq \r(2) B.4eq \r(2) C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
已知双曲线的两个焦点分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是双曲线上的一点，
且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)=1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)=1 C.x2－eq \f(y2,4)=1 D. eq \f(x2,4)－y2=1
设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±eq \r(2)x B.y=±2x C.y=±eq \f(\r(2),2)x D.y=±eq \f(1,2)x
双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A.eq \r(3) B.3 C.4 D.2
已知双曲线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)=1共焦点，它们的离心率之和为eq \f(14,5)，则双曲线的方程应是( )
A.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 C.－eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)=1 D.－eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)=1
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A.2 B.3 C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
若0＜k＜a2，则双曲线eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)=1与eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1有( )
A.相同的虚线 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D.相同的焦点
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，则C的焦距等于( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)
双曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)=1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A.(－10,0) B.(－12,0) C.(－3,0) D.(－60，－12)
二、填空题
已知双曲线过点(4，eq \r(3))，且渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为_______.
在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为eq \f(9,4)，
则顶点A的轨迹方程为__________.
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的焦点相同，
那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，过F1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2为正三角形，则此双曲线的渐近线方程是________.
三、解答题
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，eq \f(9,4))；
(2)过点P1(3，－4eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5).
已知点P为双曲线x2－eq \f(y2,12)=1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|=24，
求△PF1F2的周长.
已知直线kx－y＋1=0与双曲线eq \f(x2,2)－y2=1相交于两个不同点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)若x轴上的点M(3，0)到A，B两点的距离相等，求k的值.
设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2=1(a＞0)与直线l：x＋y=1相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，若eq \(PA,\s\up10(→))=eq \f(5,12)eq \(PB,\s\up10(→)) ，求a的值.
设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(0 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e=2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
已知双曲线C：x2－y2=1及直线l：y=kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是eq \r(2)，求实数k的值.
双曲线C与椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)=1有相同的焦点，直线y=eq \r(3)x为C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q(点Q与C的顶点不重合)．
当eq \(PQ,\s\up6(→))=λ1eq \(QA,\s\up6(→))=λ2eq \(QB,\s\up6(→))，且λ1＋λ2=－eq \f(8,3)时，求点Q的坐标．
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2=1，∴c2=2＋1=3.∴左焦点坐标为(－eq \r(3)，0).
答案为：B.
解析：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1，因为c=eq \r(5)，c2=a2＋b2，所以b2=5－a2，
所以eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5－a2)=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(eq \r(5)，4).
代入双曲线方程得eq \f(5,a2)－eq \f(16,5－a2)=1，解得a2=1或a2=25(舍去)，
所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)=1.故选B.
答案为：D
解析：由双曲线的标准方程可知，a2=10，b2=2.于是有c2=a2＋b2=12，则2c=4eq \r(3).故选D.
答案为：C；
答案为：D.
解析：设|PF1|=m，|PF2|=n，在Rt△PF1F2中m2＋n2=(2c)2=20，m·n=2，
由双曲线定义知|m－n|2=m2＋n2－2mn=16.∴4a2=16.∴a2=4，b2=c2－a2=1.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2=1.
答案为：C
解析：由题意得b=1，c= eq \r(3).∴a= eq \r(2)，
∴双曲线的渐近线方程为y=± eq \f(b,a)x，即y=±eq \f(\r(2),2)x.
答案为：C
解析：双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1的一个焦点坐标是(5,0)，一条渐近线y=eq \f(4,3)x，
此焦点到渐近线的距离d=eq \f(\f(20,3),\r(\f(16,9)＋1))=4.故选C.
答案为：C
解析：椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)=1的焦点坐标是(0，±4)，离心率e1=eq \f(4,5)，
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)=1，则a2＋b2=16 ①，eq \f(\r(a2＋b2),a)=eq \f(10,5) ②，
由①②得a=2，b2=12，所以双曲线的方程是eq \f(y2,4)－eq \f(x2,12)=1.故选C.
答案为：D
解析：∵4b=2(a＋c)，∴b=eq \f(a＋c,2)，而b2=c2－a2，
∴eq \f(a＋c2,4)=c2－a2，整理，得5a2＋2ac－3c2=0.∴e=eq \f(c,a)=eq \f(5,3).故选D.
答案为：D
解析：因为0＜k＜a2，所以 a2－k＞0.对于双曲线eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)=1，
焦点在x轴上且c2=a2－k＋b2＋k=a2＋b2.
同理双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1焦点在x轴上且c2=a2＋b2，故它们有共同的焦点.
答案为：C
解析：双曲线的一条渐近线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,b)=0，即bx－ay=0，焦点(c，0)到该渐近线的距离
为eq \f(bc,\r(a2＋b2))=eq \f(bc,c)=eq \r(3)，故b=eq \r(3)，结合eq \f(c,a)=2，c2=a2＋b2得c=2，则双曲线C的焦距为2c=4.
答案为：B；
解析：由题意知k<0，∴a2=4，b2=－k.∴e2=eq \f(a2＋b2,a2)=eq \f(4－k,4)=1－eq \f(k,4).
又e∈(1,2)，∴1<1－eq \f(k,4)<4，∴－12 答案为：eq \f(x2,4)－y2=1.
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，eq \r(3))，∴λ=16－4×(eq \r(3))2=4，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2=1.
法二：∵渐近线y=eq \f(1,2)x过点(4,2)，而eq \r(3)<2，
∴点(4，eq \r(3))在渐近线y=eq \f(1,2)x的下方，
在y=－eq \f(1,2)x的上方(如图).
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0).
由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2=1.
答案为：eq \f(x2,36)－eq \f(y2,81)=1(x≠±6).
解析：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得eq \f(y,x＋6)·eq \f(y,x－6)=eq \f(9,4)，化简，
得eq \f(x2,36)－eq \f(y2,81)=1(x≠±6).故填eq \f(x2,36)－eq \f(y2,81)=1(x≠±6).
答案为：(4,0)，(－4,0)，y=±eq \r(3)x.
解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
故c=4，且满足eq \f(c,a)=2，故a=2，b=eq \r(c2－a2)=2eq \r(3).
所以双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x=±eq \r(3)x.
答案为：y=±eq \r(2)x.
解析：据题意，得eq \f(b2,a)=eq \f(\r(3),3)·2c，两边平方，整理可得(2a2＋3b2)(2a2－b2)=0，
∴eq \f(b,a)=eq \r(2)，∴渐近线方程为y=±eq \r(2)x.
解：(1)因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，
所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0).由双曲线的定义知，
||PF1|－|PF2||
= SKIPIF 1 < 0 ==8，即2a=8，则a=4.
又c=5，所以b2=c2－a2=9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2=1(AB<0)，
分别将点P1(3，－4eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5)代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋32B＝1,\f(81,16)A＋25B＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,9),B＝\f(1,16)))，
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)=1.
解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||=2a=2，
又|PF1|·|PF2|=24，
所以|PF1|＋|PF2|=eq \r(|PF1|－|PF2|2＋4|PF1|·|PF2|)=10.
又因为|F1F2|=2c=2eq \r(13)，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|=10＋2eq \r(13).
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＋1＝0，,\f(x2,2)－y2＝1))得(1－2k2)x2－4kx－4=0.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2k2≠0，,Δ＝16k2＋16（1－2k2）＝16（1－k2）>0，))
解得：－1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2=eq \f(4k,1－2k2)，
设P为AB中点，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(k（x1＋x2）,2)＋1))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k,1－2k2)，\f(1,1－2k2)))，
因为M(3，0)到A，B两点的距离相等，
所以MP⊥AB，所以kMP·kAB=－1，
即k·eq \f(\f(1,1－2k2),\f(2k,1－2k2)－3)=－1，解得k=eq \f(1,2)或k=－1(舍去)，
所以k=eq \f(1,2).
解：(1)将y=－x＋1代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－y2=1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2=0.
依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a2≠0，,Δ＝4a4＋8a2（1－a2）＞0，))
所以 0＜a＜eq \r(2)且a≠1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，
因为eq \(PA,\s\up10(→))=eq \f(5,12)eq \(PB,\s\up10(→))，所以(x1，y1－1)=eq \f(5,12)(x2，y2－1).由此得x1=eq \f(5,12)x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2=0的两根，且1－a2≠0，
所以eq \f(17,12)x2=－eq \f(2a2,1－a2)，eq \f(5,12)xeq \\al(2,2)=－eq \f(2a2,1－a2).
消去x2得－eq \f(2a2,1－a2)=eq \f(289,60).
由a＞0，解得a=eq \f(17,13).
解：直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1，即bx＋ay－ab=0.
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))=eq \f(\r(3),4)c，
所以ab=eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2=eq \f(3,16)c4.
又b2=c2－a2，所以16a2(c2－a2)=3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16=0，
解得e2=4或e2=eq \f(4,3).
又b>a，所以e2=eq \f(a2＋b2,a2)=1＋eq \f(b2,a2)>2，则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
解：(1)由已知得c=2，e=2，
∴a=1，b=eq \r(3).
∴所求的双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)=1.
(2)设直线l的方程为y=x＋m，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m， ①,x2－\f(y2,3)＝1， ②))将①式代入②式，
整理得2x2－2mx－m2－3=0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0=eq \f(x1＋x2,2)=eq \f(m,2)，
y0=x0＋m=eq \f(3m,2)，所以线段MN垂直平分线的方程为y－eq \f(3m,2)=－（x-eq \f(m,2)）
即x＋y－2m=0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得eq \f(1,2)|2m|·|2m|=4，得m2=2，m=±eq \r(2)
此时(*)的判别式Δ>0，
故直线l的方程为y=x±eq \r(2).
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1))消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2=0.①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2>0，))解得－eq \r(2)即k的取值范围为(－eq \r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq \r(2)).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2=eq \f(－2k,1－k2)，x1x2=eq \f(－2,1－k2).
因为直线l：y=kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB=S△OAD＋S△OBD=eq \f(1,2)|x1－x2|=eq \r(2)；
当x1x2>0时，S△AOB=|S△OAD－S△OBD|=eq \f(1,2)|x1－x2|=eq \r(2).
综上可知，|x1－x2|=2eq \r(2)，
所以(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2=(2eq \r(2))2，
即（eq \f(－2k,1－k2)）2＋eq \f(8,1－k2)=8，解得k=0或k=±eq \f(\r(6),2).
由(1)，可知－eq \r(2) 解：由椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)=1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c=2，
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1，
又y=eq \r(3)x为双曲线C的一条渐近线，∴eq \f(b,a)=eq \r(3)，
又因为a2＋b2=c2，可以解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)=1.
(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．
设l的方程：y=kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－eq \f(4,k)，0)，
∵eq \(PQ,\s\up6(→))=λ1eq \(QA,\s\up6(→))，∴(－eq \f(4,k)，－4)=λ1(x1＋eq \f(4,k)，y1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(4,k)＝λ1x1＋\f(4,k),－4＝λ1y1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(4,kλ1)－\f(4,k),y1＝－\f(4,λ1)))
∵A(x1，y1)在双曲线C上，∴eq \f(16,k2)(eq \f(1＋λ1,λ1))2－eq \f(16,3λ\\al(2,1))－1=0，
∴(16－k2)λeq \\al(2,1)＋32λ1＋16－eq \f(16,3)k2=0.
同理有：(16－k2)λeq \\al(2,2)＋32λ2＋16－eq \f(16,3)k2=0.
若16－k2=0，则直线l过顶点，不合题意，∴16－k2≠0，
∴λ1，λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－eq \f(16,3)k2=0的两根，
∴λ1＋λ2=eq \f(32,k2－16)=－eq \f(8,3)，
∴k2=4，此时Δ>0，∴k=±2.
∴所求Q的坐标为(±2,0)．