高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线同步测试题

双曲线的简单几何性质

基础巩固

一、选择题

1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1或－＝1 D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.

2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A．  B．

C．1  D．

[答案]　B

[解析]　双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.

3．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是(　　)

A．±5  B．±3

C．25  D．9

[答案]　B

[解析]　依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．

4．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)

A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

[答案]　D

[解析]　∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．

5.(2015·全国卷Ⅰ理)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A．(－，)  B．(－，)

C．(－，)  D．(－，)

[答案]　A

[解析]　由双曲线方程可知F1(－，0)，F2(，0)，

∵·<0，

∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，

即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，

∴－<y0<.

6．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)

A．m>  B．m≥1

C．m>1  D．m>2

[答案]　C

[解析]　本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．

双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．

二、填空题

7．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为__________ ________.

[答案]　13

[解析]　由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.

8．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________ ________，b＝__________ ________.

[答案]　1　2

[解析]　利用共渐近线方程求解．

与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，

则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.

9．(2015·天津市六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________ ________.

[答案]　－＝1

[解析]　椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，

∴离心率e1＝，焦点(±，0)，

∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，

∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，

∴双曲线方程为－＝1.

三、解答题

10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；

(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．

[解析]　(1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则

a2＝9－λ，b2＝λ－4，

∴c2＝a2＋b2＝5，

∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，

∴所求双曲线的方程为－y2＝1.

(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．

由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

一、选择题

1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

[答案]　D

[解析]　方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．

2．(2015·济南质检)已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

[答案]　B

[解析]　∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，

∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，

∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选B．

3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±2x

[答案]　C

[解析]　由题意可知2a＝×2c＝c，

则4a2＝c2＝a2＋b2，

解得＝3，所以＝，

所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.

4．(2015·安徽理)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x2－＝1  B．－y2＝1

C．－x2＝1  D．y2－＝1

[答案]　C

[解析]　由双曲线的焦点在y轴上，排除A、B；

对于D，渐近线方程为y＝±x，

而对于C，渐近线方程为y＝±2x.故选C．

二、填空题

5．(2015·三峡名校联盟联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆＋＝1的离心率e＝__________ ________.

[答案]　

[解析]　由条件知＝，即a＝2b，

∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b，

∴e＝＝＝.

6．已知双曲线的中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为2，且双曲线两支上的点的最近距离为4，则双曲线的标准方程为__________ ________.

[答案]　－＝1

[解析]　∵双曲线的实轴在y轴上，∴焦点在y轴上，

∵双曲线两支上的点的最近距离为4，即两顶点之间的距离为4，∴a＝2.又∵离心率为2，∴c＝4，

∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线的标准方程为－＝1.

三、解答题

7．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．

[解析]　因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．

因为双曲线过点P(4，－3)，

所以－＝1.  ①

又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，

所以·＝0，即－c2＋25＝0.

所以c2＝25.  ②

又c2＝a2＋b2，  ③

所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．

所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.

8.设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．

[分析]　由截距式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而求出.

[解析]　由l过两点(a,0)、(0，b)，得

l的方程为bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c，得＝c.

将b＝代入，平方后整理，得

162－16×＋3＝0.令＝x，

则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.

由e＝有e＝.故e＝或e＝2.

因0<a<b，故e＝＝＝>，

所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.