数学2.3双曲线同步训练题

双曲线及其标准方程

课时目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．

知识梳理

1．双曲线的有关概念

(1)双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为

__________________________________________．

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．

(2)双曲线的焦点和焦距

双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．

2．双曲线的标准方程

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.

(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.

(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．

作业设计

一、选择题

1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件                B．必要不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是(　　)

A．双曲线，焦点在x轴上

B．双曲线，焦点在y轴上

C．椭圆，焦点在x轴上

D．椭圆，焦点在y轴上

3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)

A．x2－＝1                    B.－y2＝1

C．y2－＝1                    D．－＝1

4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为(　　)

A．                            B．1或3

C．                       D．

5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)

A．抛物线                      B．圆

C．双曲线的一支                D．椭圆

6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)

A．－y2＝1                      B．x2－＝1

C．－＝1                     D．－＝1

二、填空题

7．设F1、F2是双曲线 －y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|＝______.

8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．

9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.

三、解答题

10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．

能力提升

12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为(　　)

A．[3－2，＋∞)               B．[3＋2，＋∞)

C．[－，＋∞)                   D．[，＋∞)

13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．

反思感悟

1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．

2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．

3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．

§2.2　双曲线

2．2.1　双曲线及其标准方程

答案

知识梳理

1．(1)|F1F2|　以F1，F2为端点的两条射线　不存在　(2)双曲线的焦点　双曲线的焦距

2．(1)－＝1(a>0，b>0)　(－c,0)　(c,0)

(2)－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)

(3)c2＝a2＋b2

作业设计

1．B　[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，

只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]

2．B　[原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]

3．A　[∵双曲线的焦点在x轴上，

∴设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．

由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.                   ①

又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1.            ②

由①②解得a2＝1，b2＝3，

∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]

4．A　[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，

∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]

5．C　[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]

6．B　[设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以

－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.]

7．2

解析　∵||PF1|－|PF2||＝4，

又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2

＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.

8．－1<k<1

解析　因为方程－＝1表示双曲线，

所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.

所以－1<k<1.

9．90°

解析　设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.

在△F1PF2中，由余弦定理，

得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos α，

∴cos α＝＝＝0.

∴α＝90°.

10．解　方法一　设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27

＝9，c＝3.

又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有

解得

所以双曲线的标准方程为－＝1.

方法二　将点A的纵坐标代入椭圆方程得

A(±，4)，

又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．

所以2a＝|－

|＝4，

即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，

所以双曲线的标准方程为－＝1.

11．解　设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R，

代入sin B－sin C＝sin A，

得－＝·，又|BC|＝8，

所以|AC|－|AB|＝4.

因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以

a＝2，c＝4，b2＝12.

所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．

12．B

　[由c＝2得a2＋1＝4，

∴a2＝3，

∴双曲线方程为－y2＝1.

设P(x，y)(x≥)，

∴ ·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2

＝x2＋2x＋－1

＝x2＋2x－1(x≥)．

令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.

·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]

13．解　设双曲线的标准方程为－＝1，

且c＝，则a2＋b2＝7.①

由MN中点的横坐标为－知，

中点坐标为.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则由

得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

∵，且＝1，

∴2b2＝5a2.②

由①，②求得a2＝2，b2＝5.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.