数学必修35.2估计总体的数字特征图片课件ppt

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1.样本数据的数字特征(1)样本平均数n个样本数据x1,x2,…,xn的平均数为:
(2)样本方差与标准差样本方差为: 样本标准差为:s=
【思考】在电视大奖赛中,计算评委打分的平均值时,为什么要去掉一个最高分和一个最低分?提示:为了避免平均值受数据中个别极端值的影响,增大它在估计总体时的可靠性.
2.估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个_____,但这个估计是合理的,特别是当样本容量_____时,它们确实反映了总体的信息.
【思考】方差与标准差的大小与样本数据有什么关系?提示:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)一组数据的平均数与每个数据的大小有关.(　　)(2)一组数据的众数与中位数都是唯一的.(　　)(3)一组数据中有极端值时,平均数不能代表平均水平.(　　)(4)样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量,方差越大,离散程度越小. (　　)(5)标准差比方差更能准确刻画样本数据的特征.(　　)
提示:(1)√.由平均数的计算公式知,平均数与每个数据的大小有关.(2)×.一组数的中位数唯一,但众数不一定唯一.(3)√.当一组数据中有极端值时,平均数会向极端值的方向偏离,从而使平均数不能很好地代表该组数据的平均水平.(4)×.样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量,方差越大,离散程度越大.(5)√.因为标准差与样本数据单位相同.
2.某房间中10个人的平均身高为1.74米,身高为1.85米的第11个人,进入房间后,这11个人的平均身高是________. 【解析】原来的10个人的身高之和为17.4米,所以这11个人的平均身高为 (米).即这11个人的平均身高为1.75米.答案:1.75米
3.(教材二次开发:思考交流改编)下列说法中,正确的是(　　)A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数
【解析】选C.对于选项A,数据5,4,4,3,5,2的众数是4和5,即A错误;对于选项B,一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根,即B错误;对于选项C,数据2,3,4,5为对应数据4,6,8,10的一半,则数据2,3,4,5的方差是数据4,6,8,10的方差的四分之一,数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半,即C正确;对于选项D,频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频率,即D错误,即说法正确的是选项C.
类型一　用样本的数字特征估计总体的数字特征(数据分析、数学运算)【典例】1.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________. (2)命中环数的标准差为________. 
2.甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随机抽取6件进行测量,测得数据如下(单位:mm):甲:99　100　98　100　100　103乙:99　100　102　99　100　100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差;(2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.
【思路导引】1.直接代入平均数和标准差公式计算即可.2.利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.
【解析】 答案:(1)7　(2)2
(2)因为 说明甲机床与乙机床加工的平均水平相同,但甲机床加工的这种零件波动比较大,所以乙机床加工的这种零件更符合要求.
【解题策略】1.计算样本方差、标准差的三种方法(1)公式法:(2)频率法: (pi为数据xi出现的频率). (3)线性关系法:若x1,x2,…,xn的平均值为 ,方差为s2,则kx1+b,kx2+b,…,kxn+b的方差为k2s2,标准差为|ks|.
2.求样本数据x1,x2,…,xn的标准差的计算步骤(1)求样本数据的平均数 .(2)求每个样本数据与样本平均数 的差(xi- ),其中i=1,2,…,n.(3)求出(2)中(xi- )的平方,其中i=1,2,…,n.(4)求出(3)中n个平方数的平均数,即得样本方差.(5)求样本方差的算术平方根,即得样本标准差.
【跟踪训练】两台机床同时生产直径为10(单位:cm)的圆形截面零件,为了检验产品质量,质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量,结果如下:如果你是质量检验员,在收集到上述数据后,你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求?
【解析】(1)先计算平均直径:由于 ,因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣.
(2)再计算方差: 这说明乙机床生产出的零件直径波动小,因此从产品质量稳定性的角度考虑,乙机床生产的零件质量更符合要求.
类型二　由频率分布直方图估计总体的数字特征【典例】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数;(2)求这次测试数学成绩的中位数;(3)求这次测试数学成绩的平均分.
【思路导引】根据频率分布直方图中众数、中位数、平均数的意义求解.【解析】(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数,在直方图中,高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求,所以成绩的众数为75.(2)由于中位数是所有数据中的中间值,故在直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中,将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求.
因为前三个小矩形的面积和为:(0.005+0.015+0.020)×10=0.4,第四个小矩形的面积为:0.030×10=0.3,0.4+0.3=0.7>0.5.所以中位数应位于第四个小矩形内,设其底边为x,高为0.03,所以令0.03x=0.1,解得x= =3 ,故成绩的中位数为73 .
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.所以平均成绩为:45×(0.005×10)+55×(0.015×10)+65×(0.020×10)+75×(0.030×10)+85×(0.025×10)+95×(0.005×10)=72.所以成绩的平均分为72.
【解题策略】利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法(1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点.(2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.提醒:由频率分布直方图求平均数的估计值时,容易忽视利用组中值近似代替所在组的所有值.
【跟踪训练】已知一组数据如下:125 121 123 125 125 128 130 129 126 124 125 127 126 125 126 128 127 129 122 124(1)填写下面的频率分布表:
(2)作出频率分布直方图;(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数.
【解析】(1)填表如下:
(2)频率分布直方图如图所示:(3)在124.5～126.5中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为125.5.
类型三　用茎叶图估计总体的数字特征【典例】1.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的平均数为18,乙组数据的中位数为16,则x,y的值分别为(　　) A.18,6　 　　B.8,16　　 　C.8,6　　 　D.18,16
2.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.(1)画出茎叶图,由茎叶图判断哪位选手的成绩较稳定?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适.
【思路导引】1.由茎叶图求值⇒x,y对应的数据分别是10+x,10+y.2.选择自行车赛手的依据⇒选择方差小的赛手.
【解析】1.选C.由茎叶图知,甲组数据为:9,12,10+x,24,27,因为甲组数据的平均数为18,所以9+12+10+x+24+27=90,解得x =8.因为乙组数据为:9,15,10+y,18,24,乙组数据的中位数为16,所以10+y=16,解得y=6.
2.(1)画茎叶图(中间数为数据的十位数).从茎叶图上看,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些.乙发挥比较稳定,总体情况比甲好.
甲的极差为11,乙的极差为10.综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较合适.
【解题策略】茎叶图在估计总体中的应用(1)由于茎叶图中保留了样本的原始数据,因此在计算样本数据的数字特征时,可套用公式,代入数据计算可得.(2)由茎叶图估计总体分布及数字特征时,可通过数据的分布情况及数字特征进行估计.
【跟踪训练】某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为(　　)A.4 　　　　B.3 　　　　C.2 　　　　D.1
【解析】选A.由茎叶图知,甲组数据从小到大依次为60,73,74,79,81,82,87,91,中位数是 ×(79+81)=80;乙组数据从小到大依次为69,74,75,76,82,83,90,中位数是76;所以甲、乙两组数据的中位数之差为80-76=4.
【补偿训练】在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是________. 
【解析】由茎叶图及中位数的概念可知甲的中位数为45,乙的中位数为46.答案:45,46
1.下列说法正确的是(　　)A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据围绕平均数波动的大小C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方之后求和D.在两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高【解析】选B.由平均数与方差的定义,计算公式及意义知,B正确.
2.甲、乙两名射击运动员,在一次连续10次的射击中,他们所射中环数的平均数一样,但方差不同,正确评价他们水平的是(　　)A.因为他们所射中环数的平均数一样,所以他们水平相同B.虽然射中环数的平均数一样,但方差较大的,潜力较大,更有发展前途C.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较稳定,更有发展前途D.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较不稳定,忽高忽低【解析】选C.由平均数与方差的概念即知选项C正确.
3.如图所示是2019年某高一学生下学期政治考试成绩的茎叶图(茎表示成绩的十位数字),则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为(　　)A.85,84　　　B.84,85　　　C.86,84　　　D.84,86
【解析】选C.由题意可知,平均数众数为84.
4.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,3,2,则样本平均数为________. 【解析】观察值的平均数为答案:4.5
5.某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况,从两班抽出10名学生进行数学水平测试,成绩如下(单位:分):甲班:82　84　85　89　79　80　91　89　79　74乙班:90　76　86　81　84　87　86　82　85　83(1)求两个样本的平均数.(2)求两个样本的方差和标准差.(3)试分析比较两个班的学习情况.
(3)因为 所以甲班比乙班平均水平低,因为s甲>s乙,所以甲班没有乙班稳定.所以乙班的总体学习情况比甲班好.
【新情境·新思维】下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表(单位:h):