2022高考数学人教版(浙江专用)一轮总复习学案:第三章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值
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第2课时 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
常用结论
对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值.( )
(4)开区间上的单调连续函数无最值.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
[诊断自测]
1.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点、有四个极小值点
B.有三个极大值点、一个极小值点
C.有两个极大值点、两个极小值点
D.有四个极大值点、无极小值点
解析:选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.
2.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是________.
解析:因为y′=1-2sin x,
所以当x∈时,y′>0;
当x∈时,y′<0.
所以当x=时,ymax=+.
答案:+
3.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.
解析:因为y=ex+ax,所以y′=ex+a.
因为函数y=ex+ax有大于零的极值点,
所以方程y′=ex+a=0有大于零的解,
因为当x>0时,-ex<-1,所以a=-ex<-1.
答案:(-∞,-1)
用导数解决函数的极值问题(多维探究)
角度一 根据图象判断函数的极值
设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】 由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2
【答案】 D
角度二 求函数的极值
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解】 (1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
ln 2-1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;
当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,
当x∈时,f′(x)<0,故函数f(x)在x=处有极大值.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在定义域上无极值点,当a>0时,函数f(x)在x=处有一个极大值点.
角度三 已知函数的极值点或极值求参数
(1)(2021·丽水模拟)已知函数f(x)=+(m+1)·ex+2(m∈R)有两个不同的极值点,则实数m的取值范围为( )
A.(-1-,-1) B.[-,0]
C.[-∞,-) D.(0,+∞)
(2)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R,f′(x)=x+(m+1)ex.
因为函数f(x)有两个不同的极值点,
所以f′(x)=x+(m+1)ex有两个不同的零点,故关于x的方程-m-1=有两个不同的解.
令g(x)=,则g(x)=的图象与y=-m-1的图象有两个不同的交点.
g′(x)=,当x∈(-∞,1)时,g′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,
所以函数g(x)=在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.故g(x)在x=1处取得最大值.
又当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,且g(1)=,
所以0<-m-1<,所以-1-<m<-1,故选A.
(2)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则
解得或
经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7.
【答案】 (1)A (2)-7
(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程
(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[提醒] 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
1.设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0).
(1)当a=1,且函数图象过点(0,1)时,求函数的极小值;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求a的取值范围.
解:f′(x)=3ax2-4x+1.
(1)函数图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1.
当a=1时,f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)>0,解得x<,或x>1;令f′(x)<0,解得
①当a=0时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件;
②当a>0时,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0,解得a≥.
综上,a的取值范围为.
2.已知函数f(x)=xln 2x+(a-1)x2-x存在两个不同的极值点x1,x2.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:4x1x2>e2.
解:(1)由题易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=ln 2x+1+2(a-1)x-1=ln 2x+2(a-1)x.
因为函数f(x)存在两个不同的极值点x1,x2,
所以f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同的零点.
显然当a≥1时,f′(x)单调递增,不可能有两个零点,因此a<1.
令F(x)=f′(x)=ln 2x+2(a-1)x,
则F′(x)=+2(a-1),
故当x∈时,F′(x)>0,F(x)单调递增,即f′(x)单调递增;当x∈时,F′(x)<0,F(x)单调递减,即f′(x)单调递减.
因此若f′(x)有两个零点,则需f′=ln+2(a-1)·=ln-1>0,解得a>1-.
又a<1,所以实数a的取值范围为.
(2)因为x1,x2为函数f(x)的两个不同的极值点,
所以
即
两式相加得ln 4x1x2=2(1-a)(x1+x2),①
两式相减得ln=2(1-a)(x1-x2).②
①÷②得==.
要证4x1x2>e2,即证ln 4x1x2>2,即证×ln>2.
不妨设0<x1<x2,则需证ln-2·<0.
令t=,则t∈(0,1),需证ln t-2·<0.
令g(t)=ln t-2·,
则g′(t)=-=,
当t∈(0,1)时,g′(t)>0,故g(t)在t∈(0,1)上单调递增.
又g(1)=0,所以当t∈(0,1)时g(t)<0,
因此ln-2·<0,即4x1x2>e2.
利用导数求函数的最值(值域)(师生共研)
已知函数f(x)=(x-)e-x(x≥).
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间上的取值范围.
【解】 (1)因为(x-)′=1-,(e-x)′=-e-x,所以f′(x)=e-x-(x-)·e-x=.
(2)由f′(x)==0,
解得x=1或x=.
于是当x发生变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x
1
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
e-
0
e-
又f(x)=(-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间上的取值范围是.
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在上的最大值和最小值.
解:因为f(x)=+kln x,
f′(x)=+=.
(1)若k=0,则f′(x)=-在上恒有f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递减.
所以f(x)min=f(e)=,f(x)max=f=e-1.
(2)若k≠0,f′(x)==.
①若k<0,则在上恒有<0,
所以f(x)在[,e]上单调递减,
所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,f(x)max=f=e-k-1.
②若k>0,由k<,得>e,则x-<0,
所以<0,所以f(x)在上单调递减.
所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,
f(x)max=f=e-k-1.
综上,k<时,f(x)min=+k-1,
f(x)max=e-k-1.
函数极值与最值的综合问题(师生共研)
已知常数a≠0,f(x)=aln x+2x.
(1)当a=-4时,求f(x)的极值;
(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2=.当a=-4时,f′(x)=.
所以当0<x<2时,f′(x)<0,即f(x)单调递减;
当x>2时,f′(x)>0,即f(x)单调递增.
所以f(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.
所以当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln 2.
(2)因为f′(x)=,
所以当a>0,x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值;
当a<0时,由f′(x)>0得,x>-,
所以f(x)在上单调递增;
由f′(x)<0得,0
aln+2.
根据题意得f=aln+2≥-a,
即a[ln(-a)-ln 2]≥0.
因为a<0,所以ln(-a)-ln 2≤0,解得-2≤a<0,
所以实数a的取值范围是[-2,0).
(1)利用导数研究函数极值、最值的综合问题的一般思路
①若求极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.
②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.
③求函数f(x)在闭区间[a,b]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)已知最值求参数的范围
主要采取分类讨论的思想,将导函数的零点与所给区间进行比较,利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性,从而可求其最值,判断所求的最值与已知条件是否相符,从而得到参数的取值范围.
已知函数f(x)=(x+a)ln x(a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)在区间[,3]上的最大值与最小值.
(2)①若函数f(x)有2个不同的极值点x1,x2(x1
解:(1)当a=0时,f(x)=xln x,f′(x)=1+ln x,
令f′(x)=0,解得x=,
因此当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
即当x=时,函数f(x)取得最小值,为-,
f(x)max=max=3ln 3,
所以f(x)在上的最小值为-,最大值为3ln 3.
(2)①f′(x)=ln x++1,
令g(x)=ln x++1,则g′(x)=,
当a≤0时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数g(x)至多有1个零点,即函数f(x)至多有1个极值点,不合题意.
当a>0时,令g′(x)=0,得x=a,g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,因此g(x)min=g(a)=ln a+2.
当ln a+2≥0,即a≥e-2时,g(x)≥0,因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值点,不合题意.
当ln a+2<0,即0 令h(a)=g(a2)=2ln a++1(0 则h′(a)=-=<0,
因此h(a)在(0,e-2)上单调递减,所以h(a)>-4+e2+1=e2-3>0,
即g(a2)>0,所以g(a2)g(a)<0.又g=ae>0,
所以g(a)g<0,
所以方程g(x)=0在(a2,a)和上各有一个根,分别为x1,x2,因此函数f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值.
综上所述,当0 ②由题意知f′(x1)=0且f′(x2)=0,
即
由①-②得a=, ③
由①+②得ln x1+ln x2+a+2=0, ④
将③代入④得ln x1x2++2=0,
所以ln x1x2=--2.
又x1x2≤b,所以ln b++2≥0.
令t=,则t>1,令k=ln b,则k++2≥0,
因此+ln t≥0在(1,+∞)上恒成立.
令φ(t)=+ln t(t>1),
则φ′(t)=+=,
若φ′(t)≥0,则t2+2(k+3)t+1≥0(t>1),
得解得k≥-4,
此时函数φ(t)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(t)>0,
所以k≥-4符合题意.
当k<-4时,令t2+2(k+3)t+1=0,
Δ=4(k+3)2-4=4(k+4)(k+2)>0,
所以方程t2+2(k+3)t+1=0有两个不相等的实数根x3,x4(x3
因此x3<1
所以k<-4不合题意.
综上,k≥-4,即ln b≥-4,b≥e-4,
所以实数b的最小值为e-4.
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