人教B版高考数学一轮总复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值学案

第2课时　导数与函数的极值、最值

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的极值与导数

(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．

(2)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

2．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值；若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )

(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )

(3)函数的极大值一定是函数的最大值．( × )

(4)开区间上的单调连续函数无最值．( √ )

2．(多选题)函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间

B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间

C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

ABD　解析：由函数y＝f(x)的导函数的图像可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误．故选ABD.

3．函数f(x)＝2x－xln x的极大值是(　　)

A．　　　　 B．　　　　

C．e　　　　 D．e2

C　解析：f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f′(x)＝0，得x＝e.当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0.所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.

4．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．25，－2   B．50,14

C．50，－2   D．50，－14

C　解析：因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x.当x∈[－4，－3)或x∈(0,2]时，f′(x)>0，f(x)为增函数．当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.故选C.

5．函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．

8　解析：f′(x)＝6x2－4x＝2x(3x－2)．

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝.

因为f(－1)＝－4，f(0)＝0，f ＝－，f(2)＝8，所以最大值为8.

考点1　利用导数求函数的极值——综合性

考向1　根据函数的图像判断函数的极值

(多选题)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)

B．函数f(x)有极大值f(－2)

C．函数f(x)有极小值f(－2)

D．函数f(x)有极小值f(2)

BD　解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

根据函数的图像判断极值的方法

根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型．

考向2　已知函数解析式求极值

已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

(1)当a＝时，求f(x)的极值；

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝.

令f′(x)＝0，解得x＝2.

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值．

(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.

当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；

当a>0，x∈时，f′(x)>0，

x∈时，f′(x)<0，

故函数f(x)在x＝处有极大值．

综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；

当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，且为x＝.

求函数极值的一般步骤

(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数．

(2)求f′(x)＝0的根．

(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点．

(4)求出函数f(x)的极值．

考向3　已知函数的极值求参数

设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，

所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex，

f′(1)＝(1－a)e.

由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.

所以a的值为1.

(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.

若a>，则当x∈时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在x＝2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.

所以2不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是.

已知函数极值点或极值求参数的两个关键

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负．

1．(多选题)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则(　　)

A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增

B．函数f(x)在区间上单调递减

C．函数f(x)在x＝1处取得极大值

D．函数f(x)在x＝0处取得极小值

ABD　解析：根据导函数图像可知，f(x)在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值．所以A，B，D选项正确，C选项错误．故选ABD.

2．(2020·青岛一模)已知函数f(x)＝(e＝2.718…为自然对数的底数)．若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝(　　)

A．－1　　　 B．0　　　

C．1　　　 D．2

C　解析：当x≥0时，f(x)＝3x－9为增函数，无极值．令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2，即函数f(x)的一个零点为2；当x<0时，f(x)＝xex<0，无零点，f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，则当－1<x<0时，f′(x)>0.当x<－1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．综上可知，α＋β＝2＋(－1)＝1.故选C.

3．函数f(x)＝的极小值为________．

－　解析：f′(x)＝

＝.

令f′(x)<0，得x<－2或x>1；

令f′(x)>0，得－2<x<1.

所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2，1)上单调递增，

所以f(x)极小值＝f(－2)＝－.

考点2　利用导数求函数的最值——应用性

(2020·北京卷)已知函数f(x)＝12－x2.

(1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；

(2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．

解：(1)因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x.

设切点为(x0,12－x)，则－2x0＝－2，即x0＝1，所以切点为(1,11)．

由点斜式可得切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0.

(2)显然t≠0，

因为y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，

即y＝－2tx＋t2＋12.

令x＝0，得y＝t2＋12；

令y＝0，得x＝.

所以S(t)＝×(t2＋12)·＝，t≠0，显然为偶函数．

只需考察t＞0即可(t<0时，结果一样)，

则S(t)＝

＝，

所以S′(t)

＝

＝

＝

＝.

由S′(t)>0，得t>2；

由S′(t)<0，得0<t<2.

所以S(t)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

所以t＝2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)＝＝32.

综上所述，当t＝±2时，S(t)min＝32.

求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数在区间(a，b)内的极值．

(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

已知k∈，函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在[0，k]上的最大值．

解：(1)由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．

因为k∈，所以1＜2k≤2.

令f′(x)＞0，所以或解得x＞ln 2k或x＜0.

所以函数f(x)的单调递增区间为(ln 2k，＋∞)，(－∞，0)．

令f′(x)＜0，所以或解得0＜x＜ln 2k.

所以函数f(x)的单调递减区间为(0，ln 2k)．

综上，函数f(x)的单调递增区间为(ln 2k，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，ln 2k)．

(2)令φ(k)＝k－ln 2k，k∈，φ′(k)＝1－＝≤0.

所以φ(k)在上是减函数．

所以φ(1)≤φ(k)＜φ.

所以1－ln 2≤φ(k)＜＜k，即0＜ln 2k＜k.

所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

f(0)＝－1，

f(k)－f(0)＝(k－1)ek－k3－f(0)

＝(k－1)ek－k3＋1

＝(k－1)ek－(k3－1)

＝(k－1)ek－(k－1)(k2＋k＋1)

＝(k－1)[ek－(k2＋k＋1)]．

因为k∈，所以k－1≤0.

对任意的k∈，y＝ek的图象恒在直线y＝k2＋k＋1的下方，

所以ek－(k2＋k＋1)≤0.

所以f(k)－f(0)≥0，即f(k)≥f(0)．

所以函数f(x)在[0，k]上的最大值f(k)＝(k－1)ek－k3.

考点3　极值与最值的综合应用——综合性

(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f(x)＝x2eax＋1－bln x－ax(a，b∈R)．

(1)若b＝0，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x平行，求a的值；

(2)若b＝2，且函数f(x)的值域为[2，＋∞)，求a的最小值．

解：(1)当b＝0时，f(x)＝x2eax＋1－ax，x>0，

f′(x)＝xeax＋1(2＋ax)－a.

由f′(1)＝ea＋1(2＋a)－a＝2，

得ea＋1(2＋a)－(a＋2)＝0，

即(ea＋1－1)(2＋a)＝0，

解得a＝－1或a＝－2.

当a＝－1时，f(1)＝e0＋1＝2，此时直线y＝2x恰为切线，舍去．所以a＝－2.

(2)当b＝2时，f(x)＝x2eax＋1－2ln x－ax，x>0.

设t＝x2eax＋1(t>0)，则ln t＝2ln x＋ax＋1，

故函数f(x)可化为g(t)＝t－ln t＋1(t>0)．

由g′(t)＝1－＝，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)，

所以g(t)的最小值为g(1)＝1－ln 1＋1＝2.

此时，t＝1，函数f(x)的值域为[2，＋∞)．

问题转化为：当t＝1时，ln t＝2ln x＋ax＋1有解，

即ln 1＝2ln x＋ax＋1＝0，得a＝－.

设h(x)＝－，x>0，则h′(x)＝，

故h(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)，

所以h(x)的最小值为h()＝－，

故a的最小值为－.

求解函数极值与最值综合问题的策略

(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小．

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．

1．(2021·福建三校联考)若方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－∞，7)

B．(15－6ln 3，＋∞)

C．(12－61n 3，＋∞)

D．(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)

D　解析：方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解等价于函数m(x)＝x2－8x＋6ln x＋m(x>0)的图像与x轴有且只有一个交点．对函数m(x)求导得m′(x)＝2x－8＋＝＝.

当x∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；

当x∈(1,3)时，m′(x)<0，m(x)单调递减；

当x∈(3，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

所以m(x)极大值＝m(1)＝m－7，m(x)极小值＝m(3)＝m＋6ln 3－15.

所以当x趋近于0时，m(x)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，m(x)趋近于正无穷，

所以要使m(x)的图像与x轴有一个交点，必须有m(x)极大值＝m－7<0或m(x)极小值＝m＋6ln 3－15>0，

即m<7或m>15－6ln 3.故选D.

2．已知函数f(x)＝

(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；

(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．

解：(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.

(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．

因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，

所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.

②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，

当a≤0时，f(x)≤0；

当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，

则f(x)在 [1，e]上的最大值为f(e)＝a.

故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；

当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.