初中数学华师大版九年级上册1.直接开平方法和因式分解法优秀课时训练

22.2.1直接开平方法和因式分解法同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设a、b是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是

A.  B. ，
C.  D. ，

2. 菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长等于

A. 10cm B. 12 cm C. 16cm D. 12cm或16cm

3. 已知一个等腰三角形的两边长恰是方程的两根，则这个等腰三角形的周长是                                                           

A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12

4. 已知，则等于

A.   B. 6或1 C.  D. 2或3

5. 若方程的两个实数根恰好是直角的两边的长，则的周长为

A. 12 B.  C. 12或 D. 11

6. 对于实数a，b，定义一种新运算“”当时，当时，，若，则实数m等于   

A. 10 B. 4 C. 4或 D. 4或或10

7. 已知一个等腰三角形的两边长恰是方程的两根，则这个等腰三角形的周长是    

A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12

8. 三角形两边的长分别是3和5，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是

A. 10 B. 11 C. 10或11 D. 不确定

9. 已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是

A. 6或8 B. 10或 C. 10或8 D.

10. 如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示，则AD边的长为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

11. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为   

A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对

12. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x x的根，则该三角形的周长为 

A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______．
14. 方程的根是___________．
15. 若，则______．
16. 已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为______．
17. 三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 先化简，再求值：，其中a是方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值，其中a是方程的解
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21.  阅读材料：解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为．

解得，．

当时，，解得，．

当时，，解得，．

所以原方程的解为，，，．

模仿材料中解方程的方法，求方程的解．






 

22. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
    当时，，，，
    当时，，，，
    原方程的解为，，，．
    解答问题：
    在由原方程得到方程的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
    利用上述材料中的方法解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 分阅读理解：探索如下方程的解法．

我们将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，

解得，．

当时，得到，，；

当时，得到，，，

故原方程的解为，，，．

仿照上面的方法解这个方程：．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
，
整理得：，即，
解得：．
故选：C．
根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法以及新定义，弄清新定义是解题关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形的三边关系定理、解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可．
【解答】
解：

解方程得：或4，
即或4，
四边形ABCD是菱形，
，
当，时，，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
当，时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是，
故选C．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边为2，然后求等腰三角形的周长．
【解答】
解：，
所以，，
所以等腰三角形的腰为4，底边为2，
所以三角形的周长为．
故选B．  

4.【答案】C
 

【解析】解：，

，，即，，
：x等于或．
故选C．
先把因式分解，得，由题意知，从而可得x，y的关系式，即可求y：x的值．
此题实际是考查运用因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，会解一元二次方程．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：，
或，
所以，，
所以直角三角形的两边为3，4，
当4为直角边时，斜边长，三角形的周长为；
当4为斜边时，另一条直角边长，三角形的周长为．
故选：C．
先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两边为3，4，然后进行讨论：当4为直角边时，利用勾股定理计算斜边长，从而得到此时三角形的周长；当4为斜边时，利用勾股定理计算出另一条直角边长，从而得到此时三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．同时也考查了勾股定理及分类讨论思想．
 

6.【答案】B
 

【解析】当时，，
解得，，
舍去
当时，，
解得或4．
，
．
综上，．
故选B．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边为2，然后求等腰三角形的周长．
【解答】
解：，
所以，，
当2为腰时，则三边为2，2，4，，不能组成三角形，
当4为腰时，则三边为4，4，2，能组成三角形，
所以等腰三角形的腰为4，底边为2，
所以三角形的周长为．
故选B．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元二次方程以及三角形三边关系．
先解方程，然后利用三角形三边关系判断第三边的长，再求周长即可．
【解答】
解：
，
，
，，
由题意可知，第三边，即第三边，
第三边长为3，
三角形的周长为，
故选B．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解法和勾股定理的应用，由方程可以求出直角三角形的两条边长，再根据勾股定理求三角形的第三边．
【解答】
解：解方程，
即，
得：，，
当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边，长为；
当8是斜边时，第三边是直角边，长为，
故直角三角形的第三边是10或．
故选B．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查动点问题的函数图象，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当P点在AB上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得面积最大为3，得到AB与AD的积为12；当P点在BC上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与AD的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】
解：当点P在AB上运动时，底边AO不变，P到AO的距离逐渐增大，
面积逐渐增大，
当点P到达点B时，的面积最大为3．
，
即．
当点P在BC上运动时，底边AO不变，P到AO的距离逐渐减小，
的面积逐渐减小，
当点P到达点C时，面积最小为0，
此时结合图象可知，此时点P的运动路径长为7，
，
设，则，
，即，
解得或4．
，
．
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形三边关系易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】
解：解方程得：或．
当时，，不能组成三角形；
当时，，三边能够组成三角形．
该三角形的周长为，
故选B．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形三边关系易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】
解：解方程得：或．
当时，，不能组成三角形；
当时，，三边能够组成三角形．
该三角形的周长为，
故选B．  

13.【答案】17
 

【解析】解：，
，
解得：，，
若，即第三边为2，，不能构成三角形，舍去；
当时，这个三角形周长为，
故答案为：17．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为6，然后计算三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】，
 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想利用因式分解法解方程．
【解答】
解：，
或，
所以，．
故答案为，．  

15.【答案】6
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了换元法解一元二次方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．设，则原方程转化为关于z的一元二次方程．解一元二次方程即可．
【解答】
解：设，则原方程转化为，
，
解得，，
不小于0，
，
故答案为6．  

16.【答案】
 

【解析】解：把代入原方程得，
，即：，
解得，，不合题意舍去，
当时，原方程变为：，即，
解得，，
故答案为：．
把代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，解出方程的根即可．
本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．
 

17.【答案】12
 

【解析】解：解方程得：或5，
当第三边为3时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是，
故答案为：12．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
 

18.【答案】解：



，
由，得或，
，
，
，
当时，原式．
 

【解析】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，以及分因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．
 

19.【答案】解：，
，
或，
即或，


，
当时，原式，
当时，原式．
 

【解析】先求出方程的解，再化简，最后把a的值代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算和一元二次方程的解法，能根据整式的运算法则正确进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
则或，
解得，；

，
，
则，
或，
解得，．
 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
，
则或，
解得，
当时，，即，
，
解得，
综上，原方程的解为，，，．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是换元法解一元二次方程，解一元二次方程因式分解法．
设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．  

22.【答案】解：换元；  化归；
令，
则，

或，
解得或，
当时，，即，
，
则或，
解得，；
当时，，即，
，
此方程无解；
综上，原方程的解为，．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
根据换元法及其体现的数学思想解答即可；
设，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求解关于x的一元二次方程即可．
【解答】
解：在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；
故答案为换元；化归；
见答案．  

23.【答案】解：设，那么原方程可化为
，
解得，，
当时，，
，
当时，不符合题意，故舍去
原方程的解为：，．
 

【解析】本题考查了换元法解一元二次方程解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
解答：
设，则方程即可变形为，解方程即可求得y即的值．