数学北师大版 (2019)第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式教学设计

基本不等式

【教学分析】

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之-，为后续的学习奠定基础。要进-步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．借助基本不等式解决简单的最值问题．

【核心素养】

1．数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”

2．逻辑推理：本节内容进-步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．数学运算：利用基本不等式求最值

4．直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进-步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

5．数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的-个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积-定，周长最小；周长-定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

【教学难点】

1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

【教学重点】

应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

【课前准备】

PPT

【教学过程】

1．知识引入

对于任意实数和，总是成立的，即，所以

，当且仅当时，等号成立

若，，取，，则：，当且仅当时，等号成立；这个不等式称为基本不等式，其中称为，的算术平均数，称为，的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。

结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值

2．基本不等式的几何解释

如图1-14，是半圆的直径，点在上，且，．过点作的垂线交于点。连接，，．显然；利用三角形相似，可证得相似于，从而，

从图中可以看出，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半弦”．

利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出-些其他的简单不等式．

例4：已知，，，求证:

证明因为，，，所以由基本不等式得，，；三式相加，得

即：

把-段长为的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大．

表1-3

设矩形的长为，宽为，则．此时，由基本不等式 得，即．又因为当时，（即不等式中的等号成立），由此可知，边长为的正方形的面积最大．

思考交流：

类比上面的方法，说明：面积为的所有不同形状的矩形中，边长为的正方形的周长最小．

重点结论：当，均为正数时，下面的命题均成立：

（1）若（为定值）则当且仅当时，取得最大值

（2）若(为定值）则当且仅当时，取得最小值

例5：已知x，y均为整数，试证明：若(为定值），则当且仅当，时，取得最大值

证明：由基本不等式和，得，所以，又因为当时，不等式中的等号成立，所以此时取得最大值

例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，-面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）

（1）现有可围长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？

（2）若使每间禽舍面积为则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？

解：（1）设每间禽舍的长为，宽为，则

设，，，应用基本不等式，有，即：

当且仅当时，不等式中等号成立，此时，，，；因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为和时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为．

重点题型

（1）利用基本不等式求求最值

1．下列函数中，最小值是2的是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：C．

2．下列命题中正确的是（　　）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

答案：D

（2）和定积最大，和定积最小的考查

1．若，其中，则的最小值等于（　　）

A．

B．2

C．

D．

答案：C

2．已知，，且，则（　　）

A．有最大值为1

B．有最小值为1

C．有最大值为

D．有最小值为

答案：C

（3）“1”的代换运用

1．若对任意的正数，满足，则的最小值为（　　）

A．6

B．8

C．12

D．24

答案：C

2．若，，则的最小值是．

【教学反思】

一个不等式：若，，则有，当且仅当时，．

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小）值是注意：“一正二定三相等”