数学七年级下册4 设计轴对称图案精品巩固练习

10.1.4设计轴对称图案同步练习华师大版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是．

A.  B.  C.  D.

2. 如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当周长取最小值时，则的度数为

A.
B.
C.
D.

3. 用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形如下图方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线l表示马家沟河，点P表示工业大学教学楼，点Q表示实验车间，欲在马家沟河l上修建一个排水泵站记为点，现从P，Q两处向马家沟排水，有如下四种修建水泵站供水管道的方案，则修建的管道最短的方案是
    

A.  B.  C.  D.

6. 如图，四边形ABCD中，，，E，F分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为   

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知，点P为其内一定点，分别在的两边上找点A、B，使周长最小的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，AD是的对称轴，P是AD上一个动点，E是AB边上的一个定点，则下列线段的长度等于最小值的是

A. BC
B. CE
C. AD
D. AC

9. 下列图案中，不是利用轴对称设计的图案有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 如图，把一张正方形纸片三次对折后沿虚线剪下那么纸片M展开后的图案是   

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在中，，，点D在BC上，，，点P是AB上的动点，则的最小值为

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

12. 如图，在中，，，，点D在BC边上，将沿直线AD翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，连接PE，PC，则的周长的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为10，BD平分，若M、N分别是BD、BC上的动点，则的最小值为______．
     

14. 中，，，AD平分，E、F分别是AB，AD上的动点，则的最小值是__________．
     

15. 如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有          个

16. 如图，已知钝角三角形ABC的面积为18，BD平分，点M、N分别是BD、BC上的动点，若的最小值为3，则______．

17. 如图，已知，OC平分，在OA上有一点M，，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使最小，则其最小值为______．
     

18. 如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色。现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_______个．
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 在区域内，小羊从路边AB上某点出发到水沟边AC处喝水，然后跑向路边BC处吃草，再跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB边上的哪一点出发，按怎样的路线奔跑
    
     

20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
    
    
    
    求抛物线的表达式
     

若点M是该抛物线对称轴上的一点，求的最小值






 

21. 如图，在“”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．图要求只有1条对称轴，图要求只有2条对称轴．

如图，A、B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等．分别在MN上求一点P，并满足如下条件：

在图中求一点P使得最小；在图中求一点P使得最大．

不写作法，保留作图痕迹
 

22. 如图，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．
    
    如图，A，B为直线l同侧两定点，C，D为l上任意两点，且为定值，确定C，D两点的位置，使值最小．

23. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC；

三角形ABC的面积为          ；

在直线l上找一点P，使PBPC的长最短．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．

【解答】

解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，

故选C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接、，交OA于M，交OB于N，的周长的最小值，然后得到等腰中，，即可得出。
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA于M，交OB于N，则
，，
根据轴对称的性质，可得，，则
的周长的最小值

等腰中，

故选B。  

3.【答案】B
 

【解析】解：，
故选：B．
动手操作一下，不难得出．
主要在考查学生动手操作的能力的同时，也考查了平角的定义．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：A、；
B、，
；
C、；
D、．
综上所述，A选项铺设的管道最短．
故选：A．
先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：作P点关于直线l的对称点，连接后与直线l相交于点M，即M为所求；
故选B．
作P点关于直线l的对称点，进而根据轴对称性质解答即可．
此题考查轴对称中的最短路线问题，关键是作P点关于直线l的对称点．
 

6.【答案】D
 

【解析】如图，作A关于BC和CD的对称点，，连接，交BC于E，交CD于F，则即为的周长的最小值连接AC．

因为，，，，，

所以，即．

所以．

因为，，

所以．

所以．

7.【答案】D
 

【解析】解：利用轴对称的性质，分别在的两边上找点A、B，使周长最小的是D选项，
故选：D．
根据轴对称的性质即可得到结论．
本题主要考查了轴对称--最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称最短问题，轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接PC，只要证明，即可推出，由，推出P、C、E共线时，的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】
解：如图，连接PC，

是的对称轴
点C是点B关于直线AD的对称点，
，
，
，
、C、E共线时，的值最小，最小值为CE的长度。
故选：B．  

9.【答案】C
 

【解析】解：根据轴对称图形的定义可知，只有第四个图是轴对称图形，
故选：C．
根据轴对称图形的定义一一判断即可．
本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

10.【答案】B
 

【解析】略
 

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了轴对称线路最短的问题，确定动点P何位置时，使的值最小是解题的关键过点C作于O，延长CO到，使，连接，交AB于P，连接CP，此时的值最小．由，，得到，连接，由对称性可知，于是得到，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过点C作于O，延长CO到，使，连接，交AB于P，连接CP．
此时的值最小．

，
，
，
连接，由对称性可知，
，
，，
，
根据勾股定理可得．
故选B．  

12.【答案】B
 

【解析】解：，，，
，
沿AD折叠B和E重合，

，，，
垂直平分BE，即B和E关于AD对称，，
，
由，
，
，
，
当P和D重合时，的值最小，即此时的周长最小，
最小值是，
的周长的最小值是．
故选：B．
根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出BC和CE长，代入求出即可．
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．
 

13.【答案】5
 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，作出辅助线，根据角平分线的性质求解是解答此题的关键．
过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，则CE即的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值．
【解答】
解：过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，

平分，于点E，于N，
，
的最小值．
三角形ABC的面积为10，，
，
．
即的最小值为5，
故答案为5．  

14.【答案】10
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是轴对称的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题在AC上取点，使，过点B作，垂足为因为，推出当B、F、共线，且点与G重合时，的值最小．
【解答】
解：如图所示：在AC上取，则，
，
则，
当B，F，在同一直线且时，取得最小值，
过点B作于点G，即当点和点G重合时，取得最小值，
此时，
是等腰直角三角形，且，
，
即的最小值为10，
故答案为10．  

15.【答案】4
 

【解析】如图所示：这样的点D共有4个．

16.【答案】12
 

【解析】解：过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，

平分，于点E，于N，
，
的最小值．
三角形ABC的面积为18，的最小值为3，
，
．
故答案为：12．
过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，则CE即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值，由此即可求出AB的长．
本题考查了轴对称最短路线问题，关键是过点C作于点E，交BD于点M，过点M作于N，将的最小值为转化为CE．
 

17.【答案】6cm
 

【解析】

【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定Q、N的位置．
作M关于OC的对称点P，过P作于N，交OC于Q，连接MQ，则此时的值最小，则，，，根据含30度角的直角三角形性质求出PN即可．
【解答】
解：作M关于OC的对称点P，过P作于N，交OC于Q，连接MQ，则此时的值最小，

，OC平分，在OA上有一点M，
、OB关于OC对称，
点在OB上，
，，，
，
，
，
故答案为6cm．  

18.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考察了利用轴对称设计图案的知识，根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】
解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为4．  

19.【答案】如图，不妨先固定一个点，将问题转化为“双动点模型”下的最短路程

改变该定点的位置到，仍利用“双动点模型”确定最短路程

比较与的长短

问题转化为比较等腰三角形与底边的长短

发现不变量等腰三角形的顶角均等于的2倍，从而转化为比较两个等腰三角形的腰与的大小

由于P点是AB边上的动点，问题转化为求CP的最小值

从而确定P点为AB边上的高线所在的垂足如图，这就是小羊的奔跑路线．

【解析】本题表明：在的所有内接三角形中，以垂足三角形的周长最短分析与解  以退为进．
 

20.【答案】解：把，，三点的坐标代入中，得

解这个方程组，得，，
所以解析式为．
由，可得
抛物线的对称轴为直线，并且对称轴垂直平分线段OB



连接AB交直线于M点，则此时最小
过点A作轴于点N，
在中，，
因此最小值为．
 

【解析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析．
根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而的最小值正好是AB的长．

21.【答案】解：如图所示答案不唯一：
．
如图所示：
．
 

【解析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的性质及轴对称的特点．
根据轴对称的特点，作出符合题意的图形即可；
根据轴对称的性质，作图即可．
 

22.【答案】如图，作点N关于直线AD的对称点，连接，则的值最小，过点B作于点E，当时，的值最小，最小值为如图，逆推确定点M，N的位置．
 

如图，作法如下：
过点B作，且使
作点A关于l的对称点，连接交l于点
在l上截取．
则值最小，这是因为．

【解析】本题是将军饮马问题的变式，通过分析转化为运用轴对称变换求最值问题的基本模型．
对于，有两个动点M，N，先假设N点为定点，先取得问题的局部部解决，再逐步逼近目标．
对于，因为定值，只需求值最小，而AC，BD是没有公共端点的线段，通过平移转化问题．
 

23.【答案】解：如图所示；
；
连接或与直线l的交点即为P点，如图所示．

 

【解析】

【分析】
本题主要考查轴对称的性质，三角形的面积及轴对称的最短路径问题．
根据轴对称的性质找到A，B，C的对称点，再顺次连接即可；
利用长方形的面积减去3个三角形的面积可求解；
利用轴对称的性质，，结合两点之间线段最短可作图，连接或与直线l的交点即为P点．
【解答】
解：见答案；
，
故答案为3；
见答案．