备战2022年高考数学压轴题专题2.1 导数起源于切线曲切联系需熟练

【题型综述】

导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)；

（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【典例指引】

例1．（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值．

简析：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；

例2．设函数．

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，

求证：．

例3．已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．

因为，所以切线的斜率为．

则=，

即．

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

所以函数有三个不同的零点．

则．令，则或．

则 ，即，解得．

【同步训练】

1．设函数，若函数在处的切线方程为．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数在上的最大值．

【思路引导】

（Ⅰ）根据导数的几何意义，可知函数在处的导数即为切线的斜率，又点(1，)为切点，列出方程解出a，b的值；（Ⅱ）把a，b的值代入解析式，对函数求导判断单调性，根据单调区间写出函数的最值．

∴ 在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，

在 处取得极大值这个极大值也是 的最大值．   

又 ，

所以函数在上的最大值为．

2．已知函数，其导函数的两个零点为-3和0．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数在区间上的最值．

【思路引导】

对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m，n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1)，求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值．

所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1．

3．设函数的定义域为，若对任意，，都有，则称函数为“”函数．已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于．

（1）求的解析式，并求的减区间；

（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值．

【思路引导】

根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出，得出函数的解析式，利用导数解求出函数的单调减区间；对任意，函数为“”函数，等价于在上， ，根据函数的在上的单调性，求出的最值，根据条件求出的范围，得出结论．

∵在上为减函数，且，∴，

∴在上为减函数，

∴，

，

∴，得 ，

又，∴．

4．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；

（3）若方程为实数）有两个正实数根且，求证： ．

【思路引导】

（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造辅助函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；（3）由（2）知，，求出方程的根，，由在单调递减，得到，同理得到，根据不等式性质则可证得．

（3）由（2）知 ，设方程 的根为 ，可得，因为在 单调递减，又由（II）知 ，所以 ．类似的，设曲线 在原点处的切线为 可得 ，对任意的，有 即 ．设方程 的根为 ，可得 ，因为 在 单调递增，且 ，因此， 所以 ．

5．已知函数在处的切线方程为．

（1）若= ，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；

【思路引导】

根据导数的几何意义，为切线的斜率，解出，写出的切线方程求出三角形的面积为定值．

试题解析：证明：（1）因为 f′（x）= ，所以 f′（3）= ，

又 g（x）=f（x+1）=ax+ ，

设g（x）图象上任意一点P（x0，y0）因为 g′（x）=a﹣ ，

所以切线方程为y﹣（ax0+）=（a﹣）（x﹣x0）

令x=0 得y=； 再令y=ax得 x=2x0，

故三角形面积S=|||2x0|=4，即三角形面积为定值．

6．已知函数（）

（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；

（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．

【思路引导】

（1）根据条件得，化简得，再根据有极值得中判别式大于零，进而得，最后列表分析极大值条件得解得实数的取值范围；（2）切线条数的确定决定于切点个数，所以设切点，转化为关于切点横坐标的方程，再利用导数研究函数有两零点，即极值为零，解得实数的值．

点评：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

(2)已知函数求极值．求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论．

(3)已知极值求参数．若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．

7．已知函数，．

（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；

【思路引导】

（1）设直线与切于点，与切于，处的切线方程为．处的切线方程为．根据这两条直线为同一条直线，可得关于和，解得和的值，从而可得结果；

点评：本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率，即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点， 设出切点利用求解．

8．已知函数（为常数），其图像是曲线．

（1）设函数的导函数为，若存在三个实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（2）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【思路引导】

（1）由于存在唯一的实数，使得与同时成立，则，存在唯一的实数根，即存在唯一的实数根，就把问题转化为求函数最值问题；（2）假设存在常数，依据曲线在点处的切线与曲线交于另一点，曲线在点处的切线，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在．

，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．

9．已知函数，．

（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；

（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；

（3）若， ，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值．

【思路引导】

（1）曲线与在公共点处有相同的切线， ，解出即可；（2）设，由题设得，转化为关于的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；（3）设曲线在点处的切线方程为，则只需使该切线与相切即可，也即方程组，只有一解即可，所以消去后，问题转化关于方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得值．

若，则，而，显然不成立，所以 ．

从而，方程可化为．

令，则．

∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，所以，要使方程有解，只须，即．

点评：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率，即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点， 设出切点利用求解．