高中北师大版 (2019)1 走进数学建模课时训练

这是一份高中北师大版 (2019)1 走进数学建模课时训练，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

2．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
3．已知函数f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x3－2在区间(－1,0)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.125 B．1.3125
C．1.4375 D．1.46875
6．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比( )
A．略有降低 B．略有提高
C．相等 D．无法确定
7．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2 x＋100
8．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )
A．ln x＝1－x B．ex＝eq \f(1,x)
C．2－x2＝lg|x| D．2x＝|x|
10．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述不正确的是( )
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a<0时，函数f(x)有两个零点
D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点
11．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是( )
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2017年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2018年
D．虽然2019年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
12．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D．若浮萍蔓延到2 m2、4 m2、8 m2所经过的时间分别是t1、t2、t3，则2t2＝t1＋t3
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点是0，则另一个零点是________．
14．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6＜0，f(4)＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
15．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
16．若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋eq \f(x,2)＋eq \f(1,4).证明：存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使f(x0)＝x0.
18．(12分)若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
19．(12分)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
20．(12分)物联网(Internet f Things，缩写：IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1(单位：万元)，仓库到车站的距离x(单位：千米，x>0)，其中y1与x＋1成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
21．(12分)已知函数f(x)＝1－eq \f(4,2ax＋a)(a>0，a≠1)且f(0)＝0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围．
22．(12分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝lga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
章末质量检测(五) 函数应用
1．解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B
2．解析：f(x)＝ex＋2x－3，函数单调递增，计算得到f(0)＝－2<0；f(1)＝e－1>0，故函数在(0,1)有唯一零点．
答案：C
3．解析：由题意可知，函数f(x)的零点为不变号零点，所以Δ＝36－4c＝0，得c＝9.
答案：A
4．解析：易得f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x3－2为减函数，又f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0－(0)3－2＝－1<0.故f(x)在区间(－1,0)内的零点个数是1.
答案：B
5．答案：B
6．解析：设现价为b，原价为a，则b＝a(1＋10%)2(1－10%)2＝(1－0.01)2a答案：A
7．解析：对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C.
答案：C
8．解析：根据指数函数和反比例函数的性质，可知函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0且f(2)>0，求得0答案：C
9．解析：A中，函数y＝ln x与y＝1－x的图象为
，符合题意；
B中，函数y＝ex与y＝eq \f(1,x)的图象为
，符合题意；
C中，函数y＝2－x2与y＝lg|x|的图象为
，不符合题意；
D中，函数y＝2x与y＝|x|的图象为
，符合题意．
故选ABD.
答案：ABD
10．解析：f(x)＝0⇔ex＝a＋eq \f(1,x)在同一坐标系中作出y＝ex与y＝eq \f(1,x)的图象，
可观察出A、C、D不正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2017～2018年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2018～2019年比较平缓，故C错；2019年“生活价格指数”呈下降趋势，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．
答案：ABD
12．解析：将点(1,3)的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，函数的解析式为y＝3t.对于A选项，由eq \f(3n＋1－3n,3n)＝2可得浮萍每月的增长率为2，A选项正确；对于B选项，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2(m2)，第2个月增加的面积为32－31＝6(m2)，2≠6，B选项错误；对于C选项，第4个月时，浮萍的面积为34＝81>80，C选项错误；对于D选项，由题意可得3t1＝2,3t2＝4,3t3＝8，∵42＝2×8，∴(3t2)2＝3t1×3t3，即32t2＝3t1＋t3，所以，2t2＝t1＋t3，D选项正确．
答案：AD
13．解析：依题意知：m＝－2，∴f(x)＝x2－2x，∴方程x2－2x＝0的另一个根为2，即另一个零点是2.
答案：2
14．解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
15．解析：令y＝kx＋b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝800，,2k＋b＝1 300，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝500，,b＝300，))
所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300.
故营销人员没有销售量时的收入是300元．
答案：300
16．解析：∵二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1>0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－－12－2a＋4a＋1>0，,－32＋2a×3＋4a＋1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a>0，,10a－8>0，))解得a>eq \f(4,5).
故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，＋∞))
17．证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝eq \f(1,4)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,8)，
∴g(0)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0.又函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上连续，
∴存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.
18．解析：f(x)在(0,1)上恰有一个零点，显然a≠0.∴有两种情形：
①f(0)·f(1)<0，得(－1)·(2a－2)<0⇒a>1；
②Δ＝0且方程f(x)＝0的根在(0,1)内，
令Δ＝0⇒1＋8a＝0⇒a＝－eq \f(1,8)，得f(x)＝－eq \f(1,4)(x2＋4x＋4)，
此时f(x)＝0的根x0＝－2∉(0,1)．
综上知a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
19．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
因为f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k－1>0，,1＋k－2＋2k－1<0，,4＋2k－4＋2k－1>0，))
所以eq \f(1,2)即k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))).
20．解析：设y1＝eq \f(k,x＋1)(k≠0)，y2＝mx(m≠0)，其中x>0，
当x＝9时，y1＝eq \f(k,9＋1)＝2，y2＝9m＝7.2，
解得k＝20，m＝0.8，
所以y1＝eq \f(20,x＋1)，y2＝0.8x，
设两项费用之和为z(单位：万元)
则z＝y1＋y2＝eq \f(20,x＋1)＋0.8x＝eq \f(20,x＋1)＋0.8(x＋1)－0.8
≥2 eq \r(\f(20,x＋1)×0.8x＋1)－0.8＝7.2
当且仅当eq \f(20,x＋1)＝0.8(x＋1)，即x＝4时，“＝”成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，
最小费用是7.2万元．
21．解析：(1)由f(0)＝0得1－eq \f(4,2a0＋a)＝0，即a＋2＝4，解得a＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝1－eq \f(2,2x＋1)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点⇔方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，
∵1－2x∈(－∞，1)，∴k∈(－∞，1)．
故实数k的取值范围是(－∞，1)．
22．解析：(1)当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
将点(14,81)代入得c＝－eq \f(1,4)，
∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－eq \f(1,4)(t－12)2＋82；
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝lga(t－5)＋83，得a＝eq \f(1,3).
所以p＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)t－122＋82，t∈0，14]，,lg\f(1,3)t－5＋83，t∈14，40].))
(2)当t∈(0,14]时，－eq \f(1,4)(t－12)2＋82≥80，
解得：12－2eq \r(2)≤t≤12＋2eq \r(2)，
所以t∈[12－2eq \r(2)，14]；
当t∈(14,40]时，lg (t－5)＋83≥80，
解得5综上t∈[12－2eq \r(2)，32]时学生听课效果最佳．
此时Δt＝32－(12－2eq \r(2))＝20＋2eq \r(2)>22.
所以，教师能够合理安排时间讲完题目．x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.0794
0.1918
－0.3604
－0.9989