必修 第一册1 走进数学建模测试题

这是一份必修 第一册1 走进数学建模测试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是必然事件的是( )
A．小明每次数学考试成绩都在90分以上
B．通过长期努力学习，你会成为数学家
C．下雨天，每个人一定都打着伞
D．父亲的年龄比儿子的年龄大
2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(5,8)
3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
4．从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
5．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，则这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,10)
6．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
7．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
8．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,30)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
10．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a可能的取值为( )
A．1 B.eq \f(31,24)
C.eq \f(4,3) D．2
11．设M、N为两个随机事件，下列命题中正确的是( )
A．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则事件M，N相互独立；
B．若P(eq \(M,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则事件M，N相互独立；
C．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \(N,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则事件M，N相互独立；
D．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \(M,\s\up6(－))eq \(N,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)，则事件eq \(M,\s\up6(－))，eq \(N,\s\up6(－))相互独立．
12．2019年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为eq \f(7,15).
D．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为eq \f(1,3)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
14．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 011
203 331 100 231 130 133 231 031 320
122 103 233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
15．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝________.
16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
18．(12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
现从这6名同学中随机选出2人参加某知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
19．(12分)某学校在九年级上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图)，且规定计分规则如下表：
(1)请估计学生的跳绳个数的众数和平均数(保留整数)；
(2)若从跳绳个数在[155,165)，[165,175)两组中按分层随机抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人，求2人得分之和不大于34分的概率．
20．(12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一，二，三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一，二，三个问题的概率分别为0.8，0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
21．(12分)一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回．求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球的概率．
22．(12分)某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，选手选择继续闯关的概率均为eq \f(1,2)，且各关之间闯关成功与否互不影响．
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率．
章末质量检测(七) 概率
1．答案：D
2．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
答案：B
3．解析：在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为eq \f(9,20)＝0.45.
答案：B
4．解析：样本点的总数为20，而大于40的基本事件数为8个，所以P＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
答案：B
5．解析：可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B，C)与(C，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
答案：B
6．解析：该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝1－(0.2＋0.5)＝0.3.
答案：B
7．解析：甲、乙两人独立解决问题是独立事件，所以恰有1人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
答案：B
8．解析：根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是eq \f(1,15).
答案：C
9．解析：对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确．
对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得红楼梦”“丁取得红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确．
对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确．
对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
答案：BCD
10．解析：由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜2－a＜1,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＜a＜2，,\f(5,4)＜a＜\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))
解得eq \f(5,4)＜a≤eq \f(4,3).
故选BC.
答案：BC
11．解析：对于A，P(MN)＝P(M)P(N)＝eq \f(1,6)，由两事件相互独立的概念知，事件M，N相互独立，故A是真命题；
对于B，由P(eq \(M,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)得P(M)＝1－P(eq \(M,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，此时P(MN)＝P(M)P(N)＝eq \f(1,6)，由两事件相互独立的概念知，事件M，N相互独立，故B是真命题；
对于C，由P(eq \(N,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3)得P(N)＝1－P(eq \(N,\s\up10(－)))＝eq \f(2,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)≠eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，所以事件M，N不相互独立，故C是假命题；
对于D，由题意得，P(eq \(M,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(N,\s\up10(－)))＝eq \f(2,3)，此时P(eq \(M,\s\up10(－))eq \(N,\s\up10(－)))＝P(eq \(M,\s\up10(－)))P(eq \(N,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3)，由两事件相互独立的概念知，事件eq \(M,\s\up10(－))，eq \(N,\s\up10(－))相互独立，故D是真命题．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值eq \f(75＋80,2)＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为eq \f(14,15)，即车速都在[60,65)内的概率为eq \f(1,15)，故C、D错误．
答案：AB
13．解析：由古典概型的算法可得P(A)＝eq \f(8,17)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(4,17)＋eq \f(5,17)＝eq \f(9,17).
答案：eq \f(8,17)，eq \f(9,17)
14．解析：由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P＝eq \f(3,24)＝eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
15．解析：∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，
∴P(eq \(A,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3).
∴P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
16．解析：a，b的可能取值(可重复)共有10×10＝100种．|a－b|≤1可分两类，当a取0或9时，b只能取0、1或8、9，共4种取法；当a取1～8中的任一数字时，b有3种取法，共3×8＝24种，所以所求概率为P＝eq \f(24＋4,100)＝eq \f(7,25).
答案：eq \f(7,25)
17．解析：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率是eq \f(13,15).
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14对，所以晴天的次日不下雨的频率为eq \f(7,8)，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为eq \f(7,8).
18．解析：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率为P(M)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
19．解析：(1)众数为180，平均数eq \x\t(x)＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185.
(2)跳绳个数在[155,165)内的人数为100×0.06＝6，
跳绳个数在[165,175)内的人数为100×0.12＝12，
按分层随机抽样的方法抽取9人，则在[155,165)内抽取3人，在[165,175)内抽取6人，经列举得样本点总数为36，发生事件包含的样本点数为3，则P＝eq \f(1,12).
20．解析：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，
则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率为P(A1eq \(A,\s\up10(－))2A3)＋P(eq \(A,\s\up10(－))1A2A3)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up10(－))2)P(A3)＋P(eq \(A,\s\up10(－))1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率为0.228＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
21．解析：记“第1次取出的2个球都是白球”为事件A，“第2次取出的2个球都是红球”为事件B，因为每次取出后再放回，所以A、B是相互独立事件．
(1)由古典概型知，P(A)＝eq \f(3,10)，P(B)＝eq \f(1,10)，
因此，P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(3,10)×eq \f(1,10)＝eq \f(3,100).
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是eq \f(3,100).
(2)画出树状图得到相关事件的样本点数，如图所示：
由图知，样本点总数为100，设“2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球”为事件C，则事件C中含有的样本点数为3×1＋6×6＋1×3＝42，因此P(C)＝eq \f(42,100)＝eq \f(21,50)，
故2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球的概率是eq \f(21,50).
22．解析：(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥．
P(A1)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(1,8)，
P(A2)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,16)，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＝eq \f(3,16)，
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为eq \f(3,16).
(2)由题意得该选手所得学豆总个数可能为0,5,15,35，
且“该选手所得学豆总个数为15”的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，
“该选手所得学豆总个数为35”的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,16).
所以“该选手所得学豆总个数不少于15”的概率为eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＝eq \f(3,16).分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
每分钟跳
绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185，＋∞)
得分
17
18
19
20