高中数学1 走进数学建模练习

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这是一份高中数学1 走进数学建模练习，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{x|0C．{x|12．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
3．函数f(x)＝eq \f(π,2)＋lg2x的零点所在的区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
4．某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300,400,500，为了调查此次联考数学学科的成绩，现采用分层随机抽样的方法从这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么应从乙学校中抽取的数学成绩的份数为( )
A．30 B．40
C．50 D．80
5．函数y＝eq \f(\r(1－x2),2x2－3x－2)的定义域为( )
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞)
D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
6．现有四个函数：①y＝x·sin x；②y＝x·cs x；③y＝x·|cs x|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③②
C．④①②③ D．③④②①
7．国家规定某行业征税如下，年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2，x≤1，,lg2x－1，x>1))在(－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为( )
A．[0,17] B．(－∞，17]
C．[1,17] D．[1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题是真命题的是( )
A．若幂函数f(x)＝xα过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，则α＝－eq \f(1,2)
B．∃x∈(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>lgx
C．∀x∈(0，＋∞)，lgx>lgx
D．命题“∃x∈R，sin x＋cs x<1”的否定是“∀x∈R，sin x＋cs x≥1”
10．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，则下列说法中正确的是( )
A．甲队的技术比乙队好
B．乙队发挥比甲队稳定
C．乙队几乎每场都进球
D．甲队的表现时好时坏
11．已知0A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))b B．ln a>ln b
C.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D.eq \f(1,ln a)>eq \f(1,ln b)
12．已知函数f(x)＝ax－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x其中a>0且a≠1，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)在其定义域上有零点
C．函数f(x)的图象过定点(0,1)
D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上为单调递增函数
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔使用，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为________．
14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2019年度的消费情况进行了统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．(第一空2分，第二空3分)
15．已知a>0，且a≠1，lga2＝x，则a2x＋a－2x＝________.
16．已知lg x＋lg y＝2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出以上两组数据的方差；
(3)根据计算结果，评价这两名战士的射击情况．
18．(10分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
19．(12分)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则在第1,2,3组抽取的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
20．(12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)＝10x2＋100x；当年产量不小于30百件时，c(x)＝501x＋eq \f(10 000,x)－4 500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
21．(12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq \f(2,3)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)求4局比赛决出胜负的概率．
22．(12分)已知f(x)＝lg3(3x＋1)＋eq \f(1,2)kx(x∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x＋a有公共点，求a的取值范围．
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1．解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，则A∩B＝{x|2答案：D
2．解析：设事件A表示“他选择的展馆恰为中国馆”，由题意得，基本事件的总数为4个，事件A包含1个基本事件，所以P(A)＝eq \f(1,4).
答案：B
3．解析：易知连续函数f(x)＝eq \f(π,2)＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(π,2)－2<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(π,2)－1>0，
∴由函数零点存在定理得函数f(x)＝eq \f(π,2)＋lg2x的零点所在的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，故选B.
答案：B
4．解析：由题意知，应从乙学校抽取120×eq \f(400,300＋400＋500)＝40(份)数学成绩．
答案：B
5．解析：由函数y＝eq \f(\r(1－x2),2x2－3x－2)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠2且x≠－\f(1,2)，))
即－1≤x≤1且x≠－eq \f(1,2)，
所以所求函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
答案：D
6．解析：①y＝x·sin x为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；②y＝x·cs x为奇函数，它的图象关于原点对称，它在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值为正数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的值为负数，故第三个图象满足；③y＝x·|cs x|为奇函数，当x>0时，f(x)≥0，故第四个图象满足；④y＝x·2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.
答案：A
7．解析：设该公司的年收入为a万元，
则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%
解得a＝eq \f(280×2,2－0.25)＝320.
故选D.
答案：D
8．解析：易知f1(x)＝2x＋2，x≤1在(－∞，1]上单调递增，f2(x)＝lg2(x－1)，x>1在(1，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝4，f(17)＝4，所以a的取值范围为[1,17]．
答案：C
9．解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝4，∴α＝－2，A错误；在同一平面直角坐标系上画出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y＝lgx两函数图象，如图1所示．
图1 图2
由图可知∃x∈(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>lgx，故B正确；在同一平面直角坐标系上画出y＝lgx与y＝lgx两函数图象，如图2所示．
由图可知，当x∈(0,1)时，lgx>lgx，当x＝1时，lgx＝lgx，当x∈(1，＋∞)时，lgx答案：BD
10．解析：由于甲队平均每场进球数远大于乙队，故A正确；但甲队标准差太大，故D正确；而乙队标准差仅为0.3，故B、C也正确，从而知四个说法均正确，选A、B、C、D.
答案：ABCD
11．解析：因为0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))b，因为0eq \f(1,ln b)，同理可得，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故选ACD.
答案：ACD
12．解析：f(x)＝ax－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＝ax－a－x，定义域为R，f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，且f(0)＝0，故选项A，B正确，选项C错误；a>1,0答案：ABD
13．解析：第一次取出的笔是黑色笔的概率是eq \f(2,3)，第二次取出的笔是黑色笔的概率也是eq \f(2,3)，且两次取笔的结果相互独立，故两次使用的都是黑色笔的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
答案：eq \f(4,9)
14．解析：(1)0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.0.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为1－0.1×1.5－0.1×2.5＝0.6，
则该区间内购物者的人数为10 000×0.6＝6 000.
答案：(1)3.0 (2)6 000
15．解析：由指对数的互化，lga2＝x⇒ax＝2，∴a2x＋a－2x＝(ax)2＋eq \f(1,ax2)＝22＋eq \f(1,22)＝eq \f(17,4).
答案：eq \f(17,4)
16．解析：由lg x＋lg y＝2得：xy＝100，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,100)xyeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(1,100)(x＋y)≥eq \f(1,50)eq \r(xy)＝eq \f(1,5)，当且仅当x＝y＝10时，取等号，故填eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
17．解析：(1)eq \(x,\s\up10(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
eq \(x,\s\up10(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(8－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝3，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(6－7)2＋(7－7)2＋…＋(5－7)2]＝1.2.
(3)eq \(x,\s\up10(－))甲＝eq \(x,\s\up10(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，说明甲战士的射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
18．解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
19．解析：(1)由题意可知a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50.
(2)因为第1,2,3组共有50＋50＋200＝300人，
利用分层随机抽样在300名员工中抽取6名员工，每组抽取的人数分别为：
第1组抽取的人数为6×eq \f(50,300)＝1，第2组抽取的人数为6×eq \f(50,300)＝1，第3组抽取的人数为6×eq \f(200,300)＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)设第1组的1名员工为A，第2组的1名员工为B，第3组的4名员工分别为C1，C2，C3，C4，则从这6人中抽两人有(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)共15种可能，其中2人年龄都不在第3组的有(A，B)共1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
20．解析：(1)当0当x≥30时，y＝500x－501x－eq \f(10 000,x)＋4 500－2 500＝2 000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))；
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－10x2＋400x－2 500，0(2)当0当x≥30时，y＝2 000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))≤2 000－2eq \r(x·\f(10 000,x))＝
2 000－200＝1 800，
当且仅当x＝eq \f(10 000,x)，即x＝100时，ymax＝1 800>1 500，
∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元．
21．解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝eq \f(2,3)，
P(Bk)＝eq \f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(56,81).
(2)用B表示“4局比赛决出胜负”，则P(B)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)·P(B3)P(B4)＝eq \f(10,81).
22．解析：(1)∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴lg3(3－x＋1)－eq \f(1,2)kx＝lg3(3x＋1)＋eq \f(1,2)kx，
化简得lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－x＋1,3x＋1)))＝kx，即lg3eq \f(1,3x)＝kx，∴lg33－x＝kx，
∴－x＝kx，
即(k＋1)x＝0对任意的x∈R都成立，∴k＝－1；
(2)由题意知，方程lg3(3x＋1)－eq \f(1,2)x＝eq \f(1,2)x＋a有解，
亦即lg3(3x＋1)－x＝a，即lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋1,3x)))＝a有解，
∴lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3x)))＝a有解，
由eq \f(1,3x)>0，得1＋eq \f(1,3x)>1，∴lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3x)))>0，故a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)．
区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
50
50
a
150
b