初中数学冀教版九年级下册30.2 二次函数的图像和性质随堂练习题

30.2二次函数的图像和性质同步练习冀教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，现要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
   甲：若，则点P的个数为0；
   乙：若，则点P的个数为1；
   丙：若，则点P的个数为1．
   下列判断正确的是

A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对

2. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为   

A.
B.
C.
D.
 

3. 对于函数，下列结论正确的是

A. y随x的增大而增大 B. 图象开口向下
C. 图象关于y轴对称 D. 无论x取何值，y的值总是正的

4. 二次函数，当x取、时，函数值相等，则当x取时，函数值为

A.  B.  C.  D. c

5. 已知二次函数中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：

在该函数的图象上有和两点，且，，与的大小关系正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是

A.  B.
C.  D.

7. 已知抛物线，则抛物线的顶点不可能在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点下列说法：
   ；；；若，是抛物线上的两点，则；其中
   其中说法正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是

A.  B.
C.  D.

10. 抛物线的对称轴为

A.  B.  C.  D.

11. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

12. 抛物线的顶点坐标为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 抛物线的顶点坐标为______．
14. 已知点、为抛物线上的两点，如果，那么______填“”“”或“”
15. 我们定义：关于x的函数与其中叫做互为交换函数．如与是互为交换函数．如果函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么______．
16. 抛物线b，c为常数的顶点为P，且抛物线经过点，，，下列结论：
    ，
    ，
    ，
    时，存在点P使为直角三角形．
    其中正确结论的序号为______．
17. 下列关于二次函数为常数的结论：该函数的图象与函数的图象形状相同；该函数的图象一定经过点；当时，y随x的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是______．
18. 如图，抛物线的顶点为A，点B、C在抛物线上，若轴，，点B的纵坐标为，则k的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
    直接写出抛物线的函数关系式；
    动点能否在抛物线上？请说明理由；
    若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求面积的最大值．
    
    
     

21. 已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
    设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、在C的左侧．

求点A的坐标和对称轴；

若，求此抛物线的表达式；

在的条件下，对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，求出P点坐标和的周长，若不存在，请说明理由。






 

23. 已知抛物线经过点
    求a的值；
    若点、都在该抛物线上，试比较与的大小．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与y轴交于点C．
    求a，b的值；
    若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左或向右平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
     

25. 如图，直线、b为常数分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C．
    求直线的函数解析式；
    若点是抛物线上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
    若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
甲、乙的说法正确；
若，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
丙的说法不正确；
故选：C．
求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，
只有选项D的顶点符合要求，
故选：D．
根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．
此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】
解：二次函数解析式为，
二次函数图象开口向上，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．
故选：C．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数的性质先找出二次函数的对称轴是y轴，再找时的函数值即可．
【解答】
解：二次函数的对称轴是y轴，当x取，时，函数值相等，
以，为横坐标的点关于y轴对称，则，
函数值为．
故选D．  

5.【答案】D
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，，
点到直线的距离比点到直线的距离要大，
而抛物线的开口向下，
．
故选：D．
观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：．
故选：C．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：抛物线的顶点的横坐标为：，
纵坐标为：，
抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：，
抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
所以正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与x轴的另一个交点为，
，
，

所以正确；
抛物线经过，
当时，，
，
所以错误；
点离对称轴要比点离对称轴远，
，
所以正确；
抛物线的对称轴，
当时，y有最大值，
其中
，
其中，
所以正确．
所以其中说法正确的是．
故选：A．
根据抛物线开口向下，可得，根据抛物线对称轴为，可得，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得，进而可以判断；
根据对称轴为，且经过点，可得抛物线与x轴的另一个交点为，可得，即，进而可以判断；
根据抛物线经过，可得当时，，即，进而可以判断；
根据点离对称轴要比点离对称轴远，可得，进而可以判断；
根据抛物线的对称轴，可得当时，y有最大值，即其中根据，即可进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即．
故选：C．  

10.【答案】B
 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
故选：B．
根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：双曲线的两支分别位于二、四象限，即；
A、当时，物线开口方向向下，对称轴，不符合题意，错误；
B、当时，物线开口方向向下，对称轴，符合题意，正确；
C、当时，即，物线开口方向向上，不符合题意，错误；
D、当时，物线开口方向向下，但对称轴，不符合题意，错误．
故选B．
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解决此类问题步骤一般为：根据图象的特点判断a取值是否矛盾；根据二次函数图象判断其对称轴是否符合要求．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
先将题目中的函数解析式化为顶点时，即可得到该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故答案为：．
已知抛物线顶点式，顶点坐标是．
本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向上；对称轴为直线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以时，．
【解答】
解：，
，
抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线，
，
．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：由题意函数的交换函数为，
函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同，
，
解得或2，
互为交换函数，
故答案为：．
根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：将，，代入解析式，
对称轴，
，
，
，
，
，
，
，

；错误；
当时，，
，正确；
，正确；
时，，
，
若为直角三角形，则为等腰直角三角形，
的直线解析式的，
，
，
，
不存在点P使为直角三角形．
错误；
故答案为；
由已知可以确定，，；
；
当时，，即；
；
时，，则为等腰直角三角形，，求出不合题意；
本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数a，b，c的取值情况是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】
解：二次函数为常数与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论正确；
在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论正确；
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，故结论错误；
抛物线开口向下，当时，函数y有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论正确，
故答案为．  

18.【答案】
 

【解析】解：点B的纵坐标为，
，
解得，
，
轴，，
，
，
故答案为．
把代入解析式，求得，根据题意得到，解得．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得B点到对称轴的距离是解题的关键．
 

19.【答案】解：；
动点不在抛物线上，理由如下：
抛物线的函数关系式为：，
函数的最小值为，
，
动点不在抛物线上；
抛物线的函数关系式为：，
抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而减小，
点，都在抛物线上，且，
．
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
根据二次函数的最小值即可判断；
根据二次函数的性质可以求得与的大小．
【解答】
解：，
把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线：，
即，
抛物线的函数关系式为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
即一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，最大，
即面积的最大值是4．
 

【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
 

21.【答案】解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在x轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时，．
 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出m的取值．
 

22.【答案】解：抛物线与y轴交于点A，
当时，，
，
对称轴；
，
，
将点C 代入解析式得，
；
点B与C关于对称轴对称，则连接AC 此时点P为AC与对称轴交点，
 即为的周长最小值，
此时直线AC的解析式为：，
令得，
，，
周长．
 

【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用对称的特征从而解决线段之和最短的问题．
把代入抛物线的解析式即可求解；
由题意求出点C的坐标，代入抛物线的解析式即可求解；
由题意点B点和点C关于对称轴对称，点P若是AC与对称轴的交点即可求解．
 

23.【答案】解：抛物线过点，
，解得．
当时，抛物线的解析式为．
抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
，
．
 

【解析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点代入抛物线方程，然后解关于a的方程即可；
根据中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得与的大小．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

24.【答案】解：二次函数的图象经过点，点，
，解得；
，
抛物线的对称轴为直线，，
点P到A，B两点的距离相等，
点P在抛物线的对称轴上，
，，
直线BC的解析式为，
令，则，
，
设平移后的新抛物线的解析式为，
新抛物线经过点P，
，
解得，，
新抛物线的顶点坐标为或．
 

【解析】利用待定系数法即可求得；
求得直线BC的解析式，根据题意P点在抛物线的对称轴上，从而求得P的坐标，设平移后的新抛物线的解析式为，代入P的坐标，求得h的值，从而求得顶点坐标．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得P的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】解：
由题意可得，解得，
直线解析式为；
如图1，过P作于点H，过H作轴，过P作轴，两垂线交于点Q，

则，且，
，
，且，
∽，
，
设，则，，
，，
，，，且，
，
整理消去m可得，
与x的函数关系式为，
，
当时，d有最小值，此时，
当d取得最小值时P点坐标为；

如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，

，
当F、E、三点一线且与AB垂直时最小，
，
，
由可知当时，，
即的最小值为．
 

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、轴对称的性质等知识．在中注意待定系数法的应用，在中构造相似三角形是解题的关键，在中确定出E点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
过P作于点H，过H作轴，过P作轴，两垂线交于点Q，则可证明∽，设，利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
设C点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当F、E、三点一线且与AB垂直时最小，由C点坐标可确定出点的坐标，利用中所求函数关系式可求得d的值，即可求得的最小值．