初中数学冀教版九年级下册29.4 切线长定理课时练习

29.4切线长定理同步练习冀教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，PA，PB分别与相切于A、B两点．直线EF切于C点，分别交PA、PB于E、F，且则的周长为

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

2. 如图，已知PA，PB是的两条切线，A，B为切点，线段OP交于点给出下列四种说法：
   ；
   ；
   四边形OAPB有外接圆；
   是外接圆的圆心．
   其中正确说法的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 如图，PA、PB、分别切于A、B两点，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

4. 中，，，内切圆半径为1，则三角形的周长为   

A. 15 B. 12 C. 13 D. 14

5. 如图，PA，PB切于A，B两点，CD切于点E交PA，PB于C，D，若的半径为r，的周长为3r，连接OA，OP，则的值是    ．

A.  B.  C.  D.

6. 如图，AD、AE分别是的切线，D、E为切点，BC切于F，交AD、AE于点B、C，若则三角形ABC的周长是

A. 8
B. 10
C. 16
D. 不能确定

7. 如图，是的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为的切线，若的周长为25，BC的长是9，则的周长是

A. 7
B. 8
C. 9
D. 16

8. 如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若，则

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9. 如图，PA，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，若的周长等于3，则PA的值是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，的内切圆与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为   

A. 16
B. 14
C. 12
D. 10

11. 如图，PA，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，若的周长等于3，则PA的值是

A.
B.
C.
D.

12. AB为半圆O的直径，AD、BC分别切于A，B两点，CD切于点E，连接OD、OC，下列结论：
     
       ，
    正确的有          

A.   1个 B.   2个 C.   3个 D.   4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，已知PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E，，，则的周长为          ．

14. 如图，已知是的内切圆，切点为D、E、F，如果，，，则内切圆的半径 ______ ．
    
     

15. 以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若的周长为12，则直角梯形ABCE周长为______．
    
     

16. 如图，菱形ABCD，，，内切于菱形ABCD，则的半径为______．

17. 如图，PA，PB是的切线，切点分别是点A和B，AC是的直径．若，，则BC的长为______．
    
    
     

18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一动点，连接AE，过点B作于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是______

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，，以AC为直径的交AB于点过点D作的切线交BC于点E，连接OE．

求证：是等腰三角形

求证：∽．






 

20. 如图，直线AB、BC、CD分别与相切于E、F、G，且，，求：

的度数

的长

的半径．






 

21. 如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，求的度数．
    
     

22. 如图，中，，，，它的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，求AE，BD和CF的长．
     

23.  已知AB是的直径，PB是的切线，C是上的点，．
    
    求证：PC是的切线
    若，，求PC的长．
    
    
    
    
    
    
     

如图，四边形ABCD的各边均与相切，切点分别为E，F，G，H，说明与的大小关系

如图，四边形ABCD的三边切于点F，G，H，说明与的大小关系．






 

25. 如图所示，自的顶点A作射线AM、AN交BC于M、N，且，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长．
由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．
【解答】
解：、PB分别与相切于点A、B，的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
，，，
的周长．
故选：C．  

2.【答案】C
 

【解析】解：，PB是的两条切线，A，B为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分AB，所以正确；
，PB是的两条切线，A，B为切点，
，，
，
点A、B在以OP为直径的圆上，
四边形OAPB有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：C．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：是圆的切线．
，
同理，
根据四边形内角和定理可得：
，
．
故选：C．
连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得，的度数，根据四边形的内角和定理即可求的的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得的度数，是解决本题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．
作出图形，设内切圆与三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得，，从而得到，再根据三角形的周长的定义解答即可． 
【解答】
解：如图，

设内切圆与三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，
，
四边形OECF是正方形，
，
由切线长定理得，，，
，
三角形的周长，
故选：B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键．利用切线长定理得出，，，进而得出，求出即可．
【解答】
解：，PB切于A，B两点，CD切于点E交PA，PB于C，D，
，，，
，
，
则的值是：．
故选D．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线长定理，利用切线长定理，可以得到：，，，据此即可求解．
【解答】
解：，AE是圆的切线．
，
同理，，．
三角形ABC的周长．
故选C．  

7.【答案】A
 

【解析】解：、AC、BC、DE都和相切，
，，，．
，
．
故选：A．
根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解．
本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出，，然后证得≌，即可求得．
【解答】
解：连接OA、OB、OP，
，PB分别切圆O于A，B两点，
，，
在和中，
，
≌，
，
故选D．  

9.【答案】A
 

【解析】解：，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，D，
，，
的周长等于3，
，
．
故选：A．
直接利用切线长定理得出，，，进而求出PA的长．
此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【解答】
解：的内切圆与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
，，，
，
，
的周长．
故选B．  

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．直接利用切线长定理得出，，，进而求出PA的长．
【解答】
解：，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，D，
，，
的周长等于3，

，
．
故选A．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握切线长定理，证明三角形全等和三角形相似是解本题的关键．连接OE，利用切线长定理得到，，由，等量代换可得出，选项正确；由，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出，同理得到，而这四个角之和为平角，可得出为直角，选项正确；由∽，根据相似三角形的面积比等于相似比，然后代换可得选项正确；先由勾股定理得到，半径等可得，再由∽，结合，从而可得，代换可得结论正确．
【解答】
解：连接OE，如图所示：

与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
，
，，
，选项正确；
在和中，
，
≌，
，
同理≌，
，
又，
，
即，选项正确；
由得：，
，
，
，
∽，
，选项正确；
为切线，
，
，
由得∽，
，
又，
，
又，
，
．
故正确．
，，，都正确，
故选D．  

13.【答案】24
 

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角，由切线长定理可得，，，由于的周长，所以的周长，故可求得三角形的周长．

【解答】解：PA是O的切线，点A是切点，PAOA，．
PA、PB为圆的两条相交的切线，．
同理可得，．
PCD的周长，
PCD的周长．  

14.【答案】1
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，，，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．
【解答】
解：是的内切圆，切点为D、E、F，
，，，
，，，
，，，
，，，
是直角三角形，
内切圆的半径，
故答案为1．  

15.【答案】14
 

【解析】

【分析】
本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
根据切线的性质知：，；根据的周长可求出正方形ABCD的边长；在中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】
解：设AE的长为x，
与半圆O相切于点F，
，，
，
，
，
正方形ABCD的边长为4；
在中，，即，解得：，
，
直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作辅助线，构建直角，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】 
解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则，，

内切于菱形ABCD，
，
平分，
，
，
同理得，
，
，，
，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：连接AB，
，PB是的切线，
，
，
为等边三角形，
，，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
在中，，
故答案为：．
连接AB，根据切线长定理得到，根据等边三角形的性质得到，，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

18.【答案】1
 

【解析】

【分析】
本题主要考查切线长定理和圆周角定理的推论的圆周角所对的的弦是直径，在中运用勾股定理求解和把G点看成以AB为直径作圆上的点是解题的关键．
【解答】
解：以AB为直径作圆，因为，
所以G点在圆上．
当CF与圆相切时，AF最大，
此时，，，
设，则，，
在中，利用勾股定理可得：

解得．
故答案为1．  

19.【答案】证明： 连接OD．
因为DE是的切线，所以  ．
所以  ．
又，所以 ．
因为，所以 所以   B.
所以所以是等腰三角形．

因为  ，AC是的直径，所以CB是的切线．
又DE是的切线，所以．
因为，所以．
因为，所以OE为的中位线所以．
所以， ．
所以∽．

【解析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定，切线长定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定．
连接OD，根据切线的性质可得，进而得出，再结合，可得到，最后根据得到，进而推出，因此得到，即可证明是等腰三角形；
首先根据已知条件判定CB是的切线，又因为DE是的切线，根据切线长定理可得到，再根据中可得到，又因为，可判断OE是的中位线，推出，进而可证明∽．
 

20.【答案】解：如图，连接OF，OE，OG，

根据切线长定理得，，易证

，，

，．

，

，

，

．

由知，，

，，

由勾股定理得，

．

，，

根据三角形面积公式，得，

．

【解析】

【分析】本题考查切线的性质和切线长定理，勾股定理，三角形的面积．
根据切线的性质得到OB平分，OC平分，，再根据平行线的性质得，则有，即；
由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到的长；
最后由三角形面积公式即可求得OF的长．  

21.【答案】解：
、PB是的切线，
，
，
是的直径，PA是的切线，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．根据切线性质得出，，求出的度数，得出，根据三角形的内角和定理求出即可．
 

22.【答案】解：设，
的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，
，，，
而，，
，，
而，
，解得，
，，．
 

【解析】设，根据切线长定理得到，，，则，然后解方程求出x，从而得到AE、BD、CF的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
 

23.【答案】证明：连接OC，

，
，
，
，，
，
是的切线，AB是的直径，
，
在与中，

≌，
，
是的切线；
解：，
．
，，
．
在中，
，
，
．
，PC切于B，C，
．
 

【解析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，勾股定理，含直角三角形有关知识．
连接OC，根据等腰三角形的性质得到，由平行线的性质得到，，等量代换得到，证明≌，由切线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据得出，再利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出PB，最后利用切线长定理求解即可．
 

24.【答案】解：由切线长定理，得，，，，

，

即．

过点B作的切线，交AD于点M．
 

由可知．

，

，

即．

【解析】见答案
 

25.【答案】证明：如图，作的外接圆，交AB、AC于D、E，连接DE、DN，DM，

、D、M、N、E共圆，
，
，
∽，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，即，
．
 

【解析】本题主要考查了切线长定理和相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解决问题的关键．作的外接圆，交AB、AC于D、E，连接DE、DN，DM，由相似三角形的判定和性质可得：，，即，根据，得到，得到线段比，因此．