人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试精品达标测试
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8.2.1两角和与差的余弦同步练习人教 B版（2019）高中数学必修第三册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知点是角终边上一点，则等于
A. B. C. D.
- 的值是
A. B. C. D.
- 已知，则
A. B. C. D.
- 已知，则的值为
A. B. C. D.
- 在中，，BC边上的高等于，则cosA等于
A. B. C. D.
- 若，都是锐角，且，，则
A. B. C. 或 D. 或
- 的值为
A. B. C. D.
- 的值为
A. B. C. D.
- 已知、是方程的两个实根，且，则
A. B. C. D.
- 在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为
A. B. C. D.
A. B. C. D.
- 已知，则关于x的不等式的解集为
A. B.
C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则 ．
- 已知，，则 ．
- 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知函数，则 ，函数在上的值域为 ．
- 在中，，，点D在线段AC上，满足，且，则 ， ．
- 化简 ；
为了得到的图象，只需把函数的图象向右平移 个单位．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知，均为锐角，且，，求的值．
- 若，，，求 的值．
- 已知，是第三象限角．
求的值；
求的值．
- 已知函数．
求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
若，求的值．
- 已知，，且，，求的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查任意角的三角函数及两角差的三角函数公式，属于基础题．
由任意角的三角函数定义，求出，，然后利用两角差的余弦公式求解即可．
【解答】
解： 因为点是角终边上一点，
所以，
所以可得，
所以
．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦函数两角的和与差的三角函数公式．注意利用好特殊角．
首先把角变成引出特殊角，通过两角差公式进一步化简，最后约分得出结果．
【解答】
解：原式
．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
直接利用同角三角函数关系式求出，，再由，运用两角和的余弦函数公式求出结果．
【解答】
解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查考查两角和与差的正、余弦公式，诱导公式，属于基础题．
先通过和差公式化简出最简形式，然后用诱导公式将结果化简到我们求解的最简形式即可．
【解答】
解：由得，，
化简得，即，
所以即，
又．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两角和的余弦公式，属于中档题．
作出图形，令，依题意，可求得，，利用两角和的余弦公式即可求得答案．
【解答】
解：设中角A、B、C对应的边分别为a、b、c，于D，令，
在中，，BC边上的高，
，，
在中，，
故，
．
故选C．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦函数的两角差公式的应用，属于基础题．
根据同角三角函数基本关系的应用分别求得和的值，进而根据余弦的两角差公式求得答案．
【解答】
解：因为是锐角，且，
所以；
因为，都是锐角，且，
所以；
所以
；
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
根据题意利用即可求得结果．
【解答】
解：
．
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式，考查两角差的余弦公式，关键是熟练掌握诱导公式及两角差的余弦公式，属基础题．
【解答】
解：
．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查两角和差的三角函数公式，同角三角函数的关系，属于基础题．
由二次方程根与系数的关系可求，再求，进而求出得答案．
【解答】
解：是方程的两根，
，
，
又，，
，
，
，
，
故选D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
设射线OA对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得、，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为的值．
【解答】
解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，
设射线OA对应的角为，横坐标是，故点A的纵坐标为，
将点A绕原点O顺时针旋转到B点，
则OB射线对应的终边对应的角为，
则点B的横坐标为．
故选B．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
熟练运用公式和特殊角的值即可求解．
【解答】
解：
，
故选B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象的应用问题，难度较大．
利用三角恒等变换求出m的值，再求关于x的不等式的解集．
【解答】
解：，
，
，
，
，
关于x的不等式化为；
解得，；
不等式的解集为，．
故选择C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，属于基础题．
根据角的对称得到，，利用两角差的余弦公式即可求出．
【解答】
解：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
，，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数关系式和两角和与差的三角函数公式，属中档题．
利用同角三角函数关系式和角的范围先求出角的正弦与余弦，再用两角和与差的三角函数公式化简即可．
【解答】
解：因为，所以，．
由得
所以
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
由新定义结合三角函数公式分别计算可得．
本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，两角和与差的余弦公式，属中档题．
【解答】
解：集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，
可得
．
所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为．
故答案为．
16.【答案】0
【解析】
【分析】
利用倍角公式降幂，然后取求解三角函数值；再由x的范围求得相位的范围，可得函数在上的值域．
本题考查两角和与差的三角函数，考查型函数的图象与性质，是基础题．
【解答】
解：
则；
由，得，
故答案为：0；
17.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出sinC和cosC的值，再结合诱导公式和两角和的三角函数公式求cosA的值；利用正弦定理求出AC和AD的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：如图所示，
中，，，，且，
则；
所以，；
；
，
，
，，
．
故答案为：，．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和的余弦公式以及平移变换，属于中档题．
凑出两角和的余弦公式的形式，利用两角和的余弦公式变形即可．
先利用两角和的余弦公式将变形为，观察与的关系可得结果．
【解答】
解：．
，
要得到的图象，只需把的图象向右平移个单位．
故答案为：；．
19.【答案】解：，均为锐角，且，，
，，
，且
．
又，均为锐角，
．
故．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
由题意可得，的值，再根据两角和与差的三角函数公式可得，由特殊角的三角函数值即可求得答案．
20.【答案】解：因为，
所以．
因为，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
所以
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题．
由已知分别求得和，故
，代值计算即可．
21.【答案】解：，，，
，，
可得．
，是第三象限角，
，
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系求得和的值，进而即可代入求解．
利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．
22.【答案】解：
所以．
又 ，
由函数图像知．
解：由题意
而
所以
所以 ．
【解析】本题考察三角函数性质同角间基本关系式两角和的余弦公式，属于中档题．
将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为，再利用周期可得最小正周期，由找出对应范围，利用正弦函数图像可得值域先利用求出，再由角的关系展开后代入可得值．
23.【答案】解：，，
．
，，
．
．
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式；由已知求出，，然后凑角，利用两角和与差的三角函数公式求解．
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