数学必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试优秀随堂练习题

8.1.3向量数量积的坐标运算同步练习人教   B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知向量，若向量满足，则  

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，，若，则与的夹角为   

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

4. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则   

A.  B. 2 C.  D. 4

5. 已知，，，则

A.  B.  C. 2 D. 3

6. 已知向量，且，则的值为 

A. 1 B. 2 C.  D. 3

7. 设向量，，则下列结论中正确的是

A.  B.
C. 与垂直 D.

8. 设向量，则下列结论中正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 已知O为坐标原点，向量，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标为     

A.  B.  C.  D.

11. 在边长为1的正方形ABCD中，向量，，则向量，的夹角为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中点，则       

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为          ．
    
    
    
     

14. 如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为          ．
    
    
    
     

15. 若向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为          

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          
17. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为          ，的最大值为          
18. 如图，在四边形ABCD中，，，且，则实数的值为          ，若是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．

若，求；

若与共线，求k的值．






 

20. 已知向量，．

Ⅰ求向量与向量夹角的余弦值；

Ⅱ若，求实数的值．






 

21. 已知，，，O为坐标原点．

Ⅰ若，求的值；

Ⅱ若，且，求．






 

22. 设向量，，
    若向量与向量平行，求的值；
    若向量与向量互相垂直，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
    Ⅰ若，且，求；
    Ⅱ若，且与垂直，求实数m的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直及向量共线的充要条件等知识，属于基础题．
设向量的坐标为，根据已知的向量垂直及平行分别得到两个方程，解方程组即可求出向量．

【解答】

解：设，
由得．

由得．

联立得，，
则
故选D．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运用以及两个向量的夹角，属于基础题．
先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，由的范围，可得答案．

【解答】

解：设与的夹角为，
，则，
，
即，，
又，则，
故选C．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查用向量的数量积求夹角，属于基础题．
由向量的坐标便可求出，及的值，再根据向量夹角余弦公式求解即可．

【解答】

解：，，
，
又，
，
故选A．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量中的新定义问题，属于基础题．
根据平面向量数量积的性质先得，所以，计算出，再利用所给定义即可计算．

【解答】

解：

，，

，

则，

即，

故答案为：2．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的加减法，向量的数量积公式，向量的坐标运算，属于基础题．
先求出t的值，得出，代入向量的数量积公式即可得出结果．

【解答】

解：，
，
，解得，
所以，
则．
故选C．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
由题意可得，即解得，再由，运算求得结果．

【解答】

解：由题意可得，即，
，
故选：A．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，向量的平行与共线，向量的模的求法，考查计算能力．

利用向量的模，数量积共线的充要条件，判断即可得到选项． 

【解答】

解：向量，，
则，，A不正确；
，B不正确；
与不共线，D不正确；
，，
，与垂直，C正确．
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

根据数量积的坐标运算方法，依次分析选项，由，，故A不正确；利用两个向量的数量积公式求得 故B不正确；由，可得C不正确；由于 ，故 ，综合可得答案．
本题考查向量的模的定义，两个向量的数量积公式的应用，两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算．

【解答】

解：，，，，故A不正确．
，故B不正确．
，不正确．
 ，故 ，故D正确．
故选D．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运算，向量的坐标运算，向量的模，向量共线的充要条件，考查计算能力．

根据向量的数量积的运算，向量共线的等价条件，向量的坐标运算，向量的模，依次分析选项可得结果．

【解答】

解：根据题意，向量，，

依次分析选项：

对于A， ，A错误；

对于B，，与不平行，B错误；

对于C，，，
则，C正确；

对于D，，，D错误．

故选C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题给出向量的坐标，求在x轴上一点P，使有最小值．着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，属于基础题．
设，可得、含有x的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得，结合二次函数的图象与性质，可得当时取得最小值1，得到本题答案． 

【解答】解：设点P的坐标为，可得，．
因此，．
二次函数，当时取得最小值为1，
当时，取得最小值1，此时．
故选C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算，向量的数量积与夹角，属于综合题．
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出，，根据向量的夹角的公式计算即可．

【解答】

解：设向量，的夹角为，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，
向量，，
，，
，，
，，
，
，
又，，
故选：B

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可．

【解答】

解：建立坐标系如图：

则，，
，，；
所以，，
则．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，难度中档．
建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为，求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．

【解答】

解：建立如图所示的坐标系，

，则，
又由菱形ABCD的边长为2，
则，
故A，，
设P点坐标为，，
则，，
，
当时，取最小值，
故答案为：

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，难度中档．
建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为，求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．

【解答】

解：建立如图所示的坐标系，

，则，
又由菱形ABCD的边长为2，
则，
故A，，
设P点坐标为，，
则，，
，
当时，取最小值，
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量夹角的范围问题，通过向量数量积公式变形可以解决．但要注意数量积为负，夹角包括钝角和平角两类，属于中档题．判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向，利用向量的数量积公式及向量共线的充要条件求出x的范围即可． 

【解答】

解：向量与的夹角为钝角， 
且不反向，
即，
解得且，
的取值范围且，，
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积、平面向量的坐标运算的相关知识，试题难度一般．
以B为原点，BC所在直线为x轴，过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，故，，由可求的值；设，，且，求出与的坐标，根据数量积公式结合二次函数的性质即可求解．

【解答】

解：以B为原点，BC所在直线为x轴，过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，

则，，，则，，

，．

，，

不妨设，，且，

，

，

当且仅当时，取最小值．
故答案为；

17.【答案】1 

1

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于一般题．
以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解．

【解答】

解：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
 

则，，，，

设               

所以，

，

故的值为1，的最大值为1．

18.【答案】 ；

【解析】

【分析】

本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．

【解答】

解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，

，，，
，，
，，
设，
，，
，解得，
，
，，
，，
，设，则，其中，
，，

，
当时取得最小值，最小值为，
故答案为：；．

19.【答案】解：，，
 ，
，，
  ，
  
， 
故
由已知：， ，
与共线
，
．
 

【解析】本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量平行与垂直，向量模长计算，考查计算能力，属于基础题．
利用向量坐标运算再结合向量垂直，求出，计算模长得到答案．
利用向量坐标运算及向量共线，建立方程，求出k的值．
 

20.【答案】解：Ⅰ，设与的夹角为，              

所以 ；                                     
Ⅱ，                    

，，

 ，                  

解得 

【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算、向量的夹角公式和向量垂直的充要条件．

Ⅰ先利用平面向量的坐标运算求出的坐标，再代入向量的夹角公式计算即可求解；

Ⅱ先利用向量的坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的充要条件计算即可求解．

21.【答案】解：Ⅰ因为，，，
所以，，
又，所以，
则，
即；
Ⅱ，，
则，
因为，
所以，
即，即，
又，所以，
，，
所以．
 

【解析】本题主要考查向量共线的充要条件，向量的坐标运算，向量的数量积运算与模的运算，同角三角函数的基本关系，属于简单题．
Ⅰ由题意，，，根据，可得，利用同角三角函数的基本关系可得；
Ⅱ由向量的坐标运算得，根据向量的模的运算及同角三角函数的基本关系可得的值，结合，求出，由向量的数量积的坐标运算可得．
 

22.【答案】解：，  

向量与向量平行，
．

因为 ，
 ，

因为与互相垂直，所以 ，       

即，

，解得或   

【解析】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量平行的判断，属于基础题．
求得，  由向量与向量平行，得，可得结果．

求得 ， ，由与互相垂直，可得，解得结果 

23.【答案】解：Ⅰ，，，
，即，
，
；
Ⅱ由题意得，，
与垂直，
，
解得．
 

【解析】本题考查平面向量的坐标运算，向量的共线与垂直，属于基础题．
Ⅰ根据即可得出，从而求出，从而求出向量的坐标，进而求出；
Ⅱ由题意可得，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．