数学必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试优秀课时训练
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8.1向量的数量积同步练习人教 B版（2019）高中数学必修第三册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知向量是两个非零向量，且，则与夹角为
A. B. C. D.
- 如图所示，半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是
A. 2 B. 0 C. D.
- 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
- 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
- 已知向量是两个非零向量，且，则与夹角为
A. B. C. D.
- 八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
- 已知是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
- 在中，，，，点M满足，则等于
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
- 在中，，，则等于
A. B. C. 8 D. 16
- 若是非零向量且满足，，则与的夹角是
A. B. C. D.
- 设向量，向量，若向量与向量垂直，则n的值为
A. B. C. D.
- 已知是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
- 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则 ．
- 若向量和向量垂直，则 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 若，，则的取值范围是 ：若与的夹角为钝角，试求x的取值范围 ．
- 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为 ．
- 在中，，，，，则 ；设，且，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 如图，梯形ABCD，，，，E为AB中点，．
Ⅰ当，用向量，表示的向量；
Ⅱ若为大于零的常数，求的最小值并指出相应的实数的值．
- 在平面直角坐标系xOy中，已知，．
求与夹角的余弦值；
设，若，求实数的值．
- 设，，与的夹角为，求的值．
- 已知，，与的夹角为．
若，求；
若与垂直，求．
- 如图，在中，，，，D是BC的中点，点E满足，BE与AD交于点G．
设，求实数的值；
设H是BE上一点，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要是考查向量夹角的求法，向量数量积的运算等知识方法，同时考查学生运用方程思想解决问题的能力和运算能力．属于基础题．
由已知，不妨设，然后再平方求出，代入夹角公式即可．
【解答】
解：设，且设，
所以，
即，得，
所以，，
．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量在几何中的应用、平面向量的数量积、结合图形分析是解决问题的关键．
根据图形知O是线段AB的中点，所以，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．
【解答】
解：由平行四边形法则得，
故，又
且反向，设，
则
．
，
当时，的最小值为．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键，属于中档题．
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】
解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，则，
，，
则
，
当，时，取得最小值，
其最小值为，
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的加法、减法以及模的运算，考查共线定理以及数量积运算等知识，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
在正八边形ABCDEFGH中，易知，再由共线向量定义判断；根据数量积运算判断；根据，判断；
D.根据求解判断．
【解答】
解：由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，
对于A，，所以，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，，，所以，故C正确．
对于D，
，故D错误．
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要是考查向量夹角的求法，向量的运算等知识方法，同时考查学生运用方程思想解决问题的能力和运算能力．属于基础题．
由已知，不妨设，然后再平方求出，代入夹角公式即可．
【解答】
解：设，且设，
所以，
即，得，
所以，
，
．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量相关概念及运算以及命题真假性的判断，属于中档题．
结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．
【解答】
解：易知，所以A中结论正确；
，所以B中结论正确；
，所以C中结论正确；
，所以D中结论错误．
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解题的关键．
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可．
【解答】
解：以BC中点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，
设，则，
，，
所以
；
所以当，时，取得最小值．
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的运算，向量的加法法则的应用，属于中档题．
利用已知条件，表示出向量则，然后求解向量的数量积．
【解答】
解：在中，，，，点M满足，
可得，
则
．
故选：D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的运算，属于基础题，
将所求转化为，再进行数量积的运算．
【解答】
解：，
，
．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查向量夹角的求解，根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
【解答】
解：， ，
即，
又，
，
，
由得，，
，，
即，．
故选B
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出n的值．
【解答】
解：向量，向量，若向量与向量垂直，
则，
解得．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】
解：如图，
、E分别是边AB、BC的中点，且，
．
故选：C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积，属于中档题．
利用平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程，解方程得结论．
【解答】
解： ， 是互相垂直的单位向量，
，且；
又与的夹角为，
，
即
，
化简得，
即，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．
【解答】
解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，
，，E为BC中点，
，，，
设，
，，
，
，
解得，
，
为BC中点，
，即为，
，，
故答案为：．
15.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由向量和向量垂直，解得，从而，由此能求出的值．
【解答】
解：向量和向量垂直，
，解得，
，
．
故答案为：5．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的夹角及数量积运算．
由数量积小于0，且两向量不共线即可求解．
【解答】
解：，
故的取值范围是
与的夹角为钝角，
即
解得．
故答案为．
17.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积，属于中档题．
根据题意得到，，求解即可．
【解答】
解：依题意得，，
由，
得，因此．
取MN的中点E，连接DE，则，．
注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，
即，
因此的最小值为，
即的最小值为．
18.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的模长、加、减和数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；
把和均代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．
【解答】
解：，、D、C三点共线，
，
两边平方，有，
，
解得，舍负．
，
，
化简整理，得，
，解得．
故答案为：3，．
19.【答案】解：Ⅰ过C作，交AD于F，
则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，
，
时，，
；
Ⅱ，，
，
，，，
，
当时即时，取得最小值．
的最小值为，此时．
【解析】本题考查了平面向量的线性运算，向量的数量积，属于中档题．
Ⅰ过C作，交AD于F，则F为AD中点，用表示出，即可得出结论；
Ⅱ用向量，表示的向量，两边平方根据二次函数的性质求出最值．
20.【答案】解：由得，，，
，
；
，
，
，
，
，
解得．
【解析】本题考查了向量的夹角和向量垂直的判断、证明以及向量的数量积、平面向量的坐标运算，属于中档题．
根据向量的夹角以及平面向量的坐标运算相关概念，求出答案；
利用向量的数量积和向量垂直的判断和证明，列出方程，进而求出答案 ．
21.【答案】解：
．
【解析】本题考查了向量的数量积的概念及运算，属基础题．
直接利用向量数量积的概念计算即可．
22.【答案】 解：，，，
或，
．
与垂直；
，即 ，
．
又，．
【解析】利用向量共线直接写出夹角，然后利用向量的数量积求解即可．
利用向量垂直数量积为0，列出方程求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，考查向量共线与垂直的条件的应用，考查计算能力．
23.【答案】解：设，．
因为，D是BC的中点，
所以，
设，，
故，
整理得 ，
又 ，即，
所以，
联立，据平面向量基本定理，得
解得，，
所以实数的值为．
因为，
所以，即，
所以
．
【解析】本题主要考查向量的线性运算，平面向量的基本定理等，属于中档题．
选取，作为基底向量，利用向量的线性运算，以此表示出向量，再由平面向量基本定理，得到的值；
利用向量的运算得到，再利用数量积得到的值．
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