高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试精品课后复习题

8.1.1向量数量积的概念同步练习人教  B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为   

A.  B.  C.  D.

2. 等腰梯形ABCD中，，则向量在向量上的投影向量为   

A.  B.  C.  D.

3. 已知，与的夹角为，则在上的投影的数量为       

A. 1 B.  C.  D.

4. 已知向量，，与同向的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为

A.  B.  C.  D.

5. 的外接圆的圆心为O，半径为3，且，则向量在上投影向量的模为

A.  B.  C.  D.

6. 已知的外接圆的圆心为O，若，且，则向量在向量上的投影向量为          

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，，，方向上的单位向量为，则向量在
   向量上的投影向量为     

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则    

A. 1
B.
C.
D.

9. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为   

A.  B.  C.  D.

10. 在中，若，则在上的投影向量为   

A.  B.  C.  D.

11. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为

A.  B.  C.  D.

12. 平行四边形ABCD中，已知，，点E、F分别满足，，且，则向量在上的投影的数量为 

A. 2 B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为          ．
14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为          ．
15. 已知，，与的夹角为，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 设，向量，，，且，则          ，向量在方向上的投影的数量为          ．
17. 已知，OB是的角平分线，且，则上投影向量为          设，则          ．
18. 设，向量，，，且，则          ，向量在方向上的投影向量的模为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知平面上四点，，，，．

求及；   

求在方向上的投影的数量   






 

20. 设内角的对边分别为，已知．
    求的值；
    若，求向量在方向上的投影的数量．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知平面向量，．
    若，求x的值；
    若，求，以及向量在向量方向上的投影的数量．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知，，．

求；

求向量在方向上的投影的数量．






 

23. 已知向量，，设为实数．
    时，若，求的值；
    若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影的数量．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量，属于基础题．
可画出图形，据题意即可得出，，然后即可得出在上的投影向量为，然后化简即可．

【解答】

解：如图，根据题意，，，

在上的投影向量为：
．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的定义．
 

【解答】

解：由可知，且，过点D作，垂足为E，则，
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为C．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查一个向量在另一个向量上的投影的数量，属于基础题．
利用在方向上的投影的数量为，，即可求解．

【解答】

解：在上的投影的数量为，．
故选B．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，投影向量，属于基础题．
先求在方向上的投影为，再由与同向的单位向量为，即可解决．

【解答】

解：在方向上的投影为
，
又是与方向相同的单位向量，
在方向上的投影向量为，
故选：D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量的概念，同时考查了向量的线性运算，属中档题．
利用向量加法得出是直角三角形，即可求出向量在向量上投影向量的模．

【解答】

解：，
，
，
，
，B，C共线，且BC为圆O的直径，
，
，的外接圆的圆心为O，半径为3，
，，
，，，
向量在向量上投影向量的模为．
故选A．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量加法的几何意义，模，投影向量等，属中档题．
根据题意得出为直角三角形，且，从而求出向量在向量方向上的投影向量．

【解答】

解：的外接圆的圆心为O，且，
为BC的中点，即BC为外接圆的直径，．
，
是边长为2的等边三角形，
，，
，
向量在向量上的投影向量为．
故选A．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模长和数量积，向量的夹角及其投影向量，属于中档题．

通过得出的模长，结合，得出的模长，从而得出向量在向量上的投影向量．

【解答】

解：由可得：，
由两边平方得：，
即：，解得：，
设和的夹角为，
则，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选B．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量的定义与求法，属于基础题．
由题根据正六边形性质，及投影向量的定义可知，注意与夹角为．

【解答】

解：不妨假设正六边形边长为1，
由投影向量定义可知，向量在向量上的投影向量是，
所以
故选D

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型．

首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果．

【解答】

解：设，
则由余弦定理可知，

，，

 AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形，

是BC中点，，

由图可知向量在上的投影向量为，

 ，

，

．

故选：B

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了投影向量的求法，属于基础题．
由，得，再由在上的投影向量为，化简即可．

【解答】

解：由，得，
即，
则在上的投影向量为
，
故选A．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的模、投影运算等，属中档题．
根据题意得出为直角三角形，且角B为，从而求出向量在向量方向上的投影向量．

【解答】

解：如图所示：

取BC边的中点D，连接AD，
则，
和D重合，
是外接圆圆心，
，
，
，
向量在向量方向上的投影向量为；
故选A．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的投影及向量的数量积的运算，属于中档题．
根据其数量积以及已知条件可以求得，再代入向量的投影的数量公式求解即可．

【解答】

解：如图：

因为，，点E、F分别满足，
所以，，；



．
；
向量在上的投影的数量为：．
故选：C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．
设与的夹角为，求出，根据投影向量的概念，即可求出结果．

【解答】

解：设与的夹角为，
因为 ， ，，
所以，
因为是与方向相同的单位向量，
所以在上的投影向量为：
．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的投影，向量的数量积以及模的运算，属于基础题．
在方向上的投影向量的模为，即可求解．

【解答】

解：由题意可知：在方向上的投影向量的模为
，
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积和投影向量的概念及计算公式，属于基础题．
根据投影向量的计算公式即可得出结果．

【解答】

解：向量在方向上的投影向量为，
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，求向量的模，向量的投影数量，属于中档题．
根据题意，由，利用平面向量垂直的坐标表示及平面向量共线的坐标表示求出x，y的值，即可得，的坐标，可得的坐标，由向量模的计算公式求，计算向量在方向上的投影的数量即可．

【解答】

解：根据题意，向量，，，
若，则有，
若，则有，解可得，
，即 ，，
则，
则；
向量在方向上的投影的数量为．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，投影向量的概念，属于中档题．
由题意，，利用投影向量的概念可得结论，再由，利用可得结论．

【解答】

解：，OB是的角平分线，且，
，在上投影向量为；
又，，
即，即．
故答案为；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，求向量的模，向量的投影，属于中档题．
根据题意，由，，利用平面向量垂直的坐标表示及平面向量共线的坐标表示求出x，y的值，即可得，的坐标，可得的坐标，由向量模的计算公式求，计算向量在方向上的投影向量的模即可．

【解答】

解：根据题意，向量，，，
若，则有，解可得，即，
若，则有，解可得，即，
则，
则；
向量在方向上的投影向量的模为．
故答案为；．

19.【答案】解：由题，，；；；
在方向上的投影的数量为．
 

【解析】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的投影，属于基础题．
利用点的坐标求向量坐标，然后求解向量的模；
利用向量数量积求向量的投影的数量．
 

20.【答案】解：


；
由题意得：向量在方向上的投影的数量为，
由正弦定理：，
由余弦定理：，
故向量在方向上的投影的数量为．
 

【解析】本题考查两角和的余弦函数公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系式以及向量的投影等基本知识，考查计算能力．
由已知条件利用两角和的余弦函数公式，求出；
利用，，结合正弦定理，求出B的正弦值，利用余弦定理求出c的大小，再利用向量的投影公式，求出在方向上的投影的数量．
 

21.【答案】解：根据题意，向量，．
若，必有，
解得：或．
若，则，，
则，
向量在向量方向上的投影的数量为．
 

【解析】本题考查向量平行的坐标表示、向量模的坐标表示以及向量的投影，属于基础题．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得x的值，即可得答案；
根据题意，由x的值求出、的坐标，进而计算可得答案．
 

22.【答案】解：因为，，，
，即，
所以，
所以，所以．

因为，
所以向量在方向上的投影的数量为．

【解析】本题考查向量数量积的运算，向量的投影，向量的模，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意求得，再由即可求解．
直接根据向量的投影的数量公式即可求解．
 

23.【答案】解：，．
，
，
；
．
，则，
，
当时，．
当时，时，
．
向量在方向上的投影的数量为．
 

【解析】本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、向量模的计算公式、二次函数最值的应用、向量的投影等，属于中档题．
利用向量共线定理可得，再利用同角三角函数基本关系式即可得出；
利用向量模的计算公式、二次函数的最值、向量的投影的数量公式即可得出．