高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试精品练习

7.3三角函数的性质与图像同步练习人教   B版（2019)高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，则需将的图象

A. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

2. 已知曲线：，：，则下面结论正确的是       

A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

3. 关于函数，有下述四个结论：

是偶函数                                                   
在区间单调递增
在有4个零点                                  
的最大值为2

其中所有正确结论的编号是   

A.  B.  C.  D.

4. 函数的最小正周期为

A.  B.  C.  D.

5. 若将函数图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的单调递增区间为   

A.  B.
C.  D.

6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 

A.  B.  C.  D.

7. 设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为     

A.  B.  C.  D.

8. 若方程在区间上有实根，则实数m的取值范围是    

A.  B.  C.  D.

9. 函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象 

A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度

10. 已知函数的部分图象如图所示，那么函数的解析式可以是

A.
B.
C.
D.
 

11. 函数图象上一点向右平移个单位，得到的点Q也在图象上，线段PQ与函数的图象有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

12. 要得到函数的图象，只需将函数的图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则          ．
14. 函数的定义域为          ．
15. 已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为          ．
    
    
     

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式          ；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，则          ．

17. 为得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标          到原来的          倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍．
18. 已知函数是偶函数，将的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为若图象的相邻对称中心之间的距离为，则          若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数．求的单调递增区间； 

当时，求的取值范围．






 

20. 己知函数的最大值为1．

求实数a的值；

若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．






 

21. 已知函数的最小正周期为．
    求的单调递增区间；
    用“五点作图法”，画出函数在一个周期上的图象．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设．
    求的单调递增区间；
    把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在中，分别为内角的对边，且

求A的大小；

在，，这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题若________，________，求的面积．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查由的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于中档题．
由函数其中，的图象可得，，可得函数，再由函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】

解：由函数在一个周期内的图象，
可得，解得．
再把点代入函数的解析式可得，
即．
再由，可得，
故函数
把函数的图象先把横坐标伸长到原来的2倍，
可得的图象，再向右平移个单位可得，
故选C．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用．
利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．

【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到函数图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到函数
的图象，即曲线，
故选D．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，属于拔高题．
根据题意，得出函数是偶函数，判断；得出在区间为减函数，判断；
研究函数在上的零点个数，来判断；求出的最大值来判断；即可得解．

【解答】

解：，且的定义域为R，
则函数是偶函数，故正确；
当时，，，
则当时，，则在区间为减函数，故错误；
画出函数的图象，
当时，，
由，得，即或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；
当且时，取得最大值2，故正确，
故正确的是，
故选C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
利用三角函数周期公式，直接求解即可．

【解答】

解：函数的最小正周期为：．
故选：C．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，函数图象的平移，函数的单调区间，考查了学生的分析与计算能力，属中档题．
利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用函数的单调性得函数的单调递增区间．

【解答】

解：将函数图像上的每一个点都向左平移个单位长度，
得到的图像，
令，
解得．
即函数的单调递增区间为．
故选A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的图像变换规律，属于基础题．
由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．
【解答】
解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选：B．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．

先利用得到，由，可得，进而可得k的值，则的值可得，即可求解．

【解答】

解：由图可知，
所以
化简可得，
又因为，即，所以，
则当且仅当时，，
所以，故最小正周期．
故选C．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查倍角公式、辅助角公式及零点问题，属于一般题．
由题得，求解定义域内的范围即可．

【解答】

解：由题得，
即，
则，
由，
得，
所以，，
得，，
因为有实根，
解得，
故选B．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．

【解答】

解：函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象，
故选：D．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查由的部分图象确定其解析式，难点是对的确定，注意平移的方向与的符号有关，移动的单位是，属于基础题．
由图象可求其周期T，从而可求得，由的最值可求A，结合图象的平移，从而可求得，解析式可得．

【解答】

解：由图象得，，，
，
，
其图象可由的图象向右平移得到，可得，
则．
故选：C．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

由题意求出T和、的值，写出的解析式，画出函数的图象，结合图象求出与有两个交点时a的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力．

【解答】

解：由线段PQ与函数的图象有5个交点，
且满足，所以，解得，
所以，所以；
又，即，
令，得，即，
解得或；
又，即，
所以，所以，则，
时，，，
，
画出的图象，如图所示：
函数与有两个交点时，a的取值范围是
故选：A．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

根据图象平移关系进行判断即可．
本题考查函数图象变换关系，是基础题．

【解答】

解：设将函数的图象向左平移m个单位得到的图象，
则，则由得，得，
即只需将函数的图象向左平移个单位长度即可，
故选：C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．
由条件根据函数的图象变换规律，可得，可得，且，，由此求得、的值，可得的解析式，从而求得的值．

【解答】

解：函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的图象．
再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数的图象，
，且，，
，，，，
，
．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的定义域和余弦函数的性质，属于基础题．
由函数式有意义，得到，所以，再运用余弦函数性质解不等式，即可得到答案．
【解答】
解：由解析式得，所以，

利用余弦函数的图象可得满足的，，

所以满足的x取值范围是．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数的性质和图象，考查学生的运算求解能力和计算能力，难度适中．
根据可知函数关于对称，再利用图象即可得到函数的解析式，从而得到，即可得a的最小正值．

【解答】

解：，
直线为函数的对称轴，
由图象可知，，，得，
，，
则由五点作图法可的，解得，
令，，
解得，，
的最小正值为，
故答案为．

16.【答案】

1 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
由给出的图形求出周期，即可求出的值，再利用函数的平移得出，利用周期性即可求解．

【解答】

解：设函数的最小正周期为T，

由图知，解得，所以，

因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，
则，因为，

所以．
故答案为；1．

17.【答案】缩短

【解析】

【分析】

由图像先变换横坐标，然后变换纵坐标，得到图像．

本小题主要考查三角函数图像变换，主要是伸缩变换，属于基础题．

【解答】

解：横坐标缩小为原来的倍，得到，
再将纵坐标伸长到原来的2倍得到．

故答案为：缩短；

18.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，属于基础题．
由三角函数的奇偶性得，由函数的图像的平移、周期性、最值得，由，以及余弦函数的性质求最值．

【解答】

解：函数是偶函数，
，即函数，
将的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为，
图象的相邻对称中心之间的距离为，
，
，

的图象在其某对称轴处对应的函数值为，，
，
，
，
，
当，即时，．
故答案为1； ．

19.【答案】解：
 

令，解得，

所以函数单调递增区间为，，

Ⅱ设，
，，

，，

所以当时，函数的取值范围为．

【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，考查学生的思维能力，属于中档题．
化简函数，利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
由，利用正弦函数定义域和值域，求得的取值范围．
 

20.【答案】解：

，
，
；
将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

，
，，
当时，，取最大值，
当时，，取最小值．
 

【解析】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象变换，以及正弦型函数的性质，属于中档题．
将函数化为正弦型形函数，进而即可得结果；
根据三角函数的图象变换求出，再根据正弦函数的性质求解即可．
 

21.【答案】解：由，得，
所以，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
列表：

描点，连线可得图象：

 

【解析】本题主要考查了五点法作函数的图象，正弦函数的单调性，属于中档题．
由周期公式求得，从而可得解析式，由正弦函数的性质即可求得单调区间；
由五点法画图步骤，即可得到一个周期内的图象．
 

22.【答案】解：由

由，得

所以，的单调递增区间是
或；

由知

把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，

得到的图象，

再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，

即，

所以

【解析】本题考查函数的图象与性质以及函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．
首项利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式得到，只需令即可求出答案；
根据函数图象的平移和伸缩变换的规则得到，即可求出的值．
 

23.【答案】解：因为，
又由正弦定理，得，
即，
所以，
因为，
所以；
方案一：选条件和．
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
解得，
所以的面积；
方案二：选条件和．
由余弦定理，得，
则，所以，
所以，
所以的面积．
 

【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用．
由正弦定理得，再结合余弦定理得到，即可解得A的大小；
方案一：选条件和，由正弦定理得b，由余弦定理解得c，即可得到的面积；
方案二：选条件和，由余弦定理解得b，进而得到c，即可得到的面积．