高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列4 数列在日常经济生活中的应用学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列4 数列在日常经济生活中的应用学案，共7页。

[教材要点]
要点一 三种常见的应用模型
(1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部________，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的________．
(3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．
要点二 常用公式
(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝________．
(2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝__________．
(3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝________．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算应大于使用单利计算所得的本利和．( )
(2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是－1.( )
2．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是( )
A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364
C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是( )
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C． D．
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)
题型一 利用等差数列模型解题
例1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1日开始，每个月的1日都存入100元，存期三年．
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问时，李先生一次可支取本息多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)
方法归纳
此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型．
跟踪训练1 某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )
A．5(1＋2＋3＋…＋12)元
B．5(1＋2＋3＋…＋11)元
C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元
D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元
题型二 利用等比数列模型解题
例2 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？
方法归纳
复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n.
跟踪训练2 某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是( )
A．1.14a
B．1.15a
C．10(1.15－1)a
D．11(1.15－1)a
题型三 分期付款问题
例3 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
方法归纳
分期付款的相关规定：(1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同；(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)；(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和．
跟踪训练3 某百货公司采用分期付款的办法销售家用空调机，售价为15 000元，分6个月付清，每月付一次，月利率以6%的单利计算，问购买者每月应付________元(不满1元的舍去).
易错辨析 实际问题与所建数学模型不符致误
例4 某林场去年年底森林中的木材存量为a，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，求b的最大值(取lg 2＝0.3)．
解析：设a1，a2，…，a20表示今年开始的各年木材存量，
则an＝an－1(1＋25%)－b，
所以an＝an－1－b⇒an－4b＝(an－1－4b)，
即数列{an－4b}是等比数列，且公比q＝，
所以a20－4b＝(a－4b)·，
设t＝，
则lg t＝20lg ＝20lg ＝20(1－3lg 2)＝20(1－3×0.3)＝2，所以t＝100，
于是a20－4b＝100(a－4b)
所以a20＝100a－396b
由a20≥4a，得4a≤100a－396b⇒b≤a.
故每年冬季最大砍伐量为a.
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．有一套丛书共6册，计划2020年出版第一册，每两年出版一册，则出版齐这套丛书的年份是( )
A．2028 B．2030
C．2032 D．2033
2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将接近( )
A．60万吨 B．61万吨
C．63万吨 D．64万吨
3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足( )
A．b＝ B．b＝
C．b＝ D．4．某种产品平均每三年价格降低，目前售价640元，则9年后此产品的价格为________元.
5．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？
§4 数列在日常经济生活中的应用
新知初探·课前预习
要点一
(1)本利和 (2)本利和
要点二
(1)P(1＋r)n (2)N(1＋r)x (3)P(1＋nr)
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√
2．解析：由复利公式得S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365.故选C.
答案：C
3．解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝.故选C.
答案：C
4．解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
答案：6.246
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)100×36＋100×2.7‰×
＝3 779.82(元)．
即“教育储蓄”一次支取本息3 779.82元．
(2)100×36＋100×1.725‰××(1－20%)＝3 691.908≈3 691.91(元)．
3 779.82－3 691.91＝87.91(元)
∴比“零存整取”多收益87.91元．
跟踪训练1 解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元．故选A.
答案：A
题型二
例2 解析：设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)．
则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，
故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．
所以2028年初这个家庭应取出的钱数为
S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元)．
跟踪训练2 解析：由题意知，从今年起，这个工厂每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列. 则S5＝＝11(1.15－1)a.故选D.
答案：D
题型三
例3 解析：设每年还款x元，需10年还清，则每年还款及利息情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清；
第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；
第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；
……
第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元.
根据题意可得：
x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20 000(1＋10%)10,
∴x＝≈3 255.
∴每年应还款3 255元.
跟踪训练3 解析：设每月应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为
x(1＋0.06×5)＋x(1＋0.06×4)＋…＋x(1＋0.06×1)＋x
＝x[6＋0.06×(5＋4＋3＋2＋1)]＝6.9x.
另一方面，15 000元在5个月的本利合计为
15 000(1＋0.06×5)＝19 500，6.9x＝19 500，即x≈2 826(元).
答案：2 826
[课堂十分钟]
1．解析：由已知得出版齐这套丛书的年份是2020＋(6－1)×2＝2030. 故选B.
答案：B
2．解析：设年增长率为x，则2009年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝.
2019年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2
＝40×＝62.5≈63(万吨)．故选C.
答案：C
3．解析：因为b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)
＝a(1＋0.005)12，所以12b所以b<，显然12b>a，
即答案：D
4．解析：由题意知9年后的价格为640×＝270(元)．
答案：270
5．解析：设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间依次为x1，x2，…，xn，
由已知得x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1 min放水，所以＝1，即Sn＝24n，即＝24n，所以(x1＋xn)＝24，x1＋xn＝48.
又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40.
故最后关闭的水龙头放水40 min.
最新课程标准
学科核心素养
能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用．
体会“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
出错原因
纠错心得
本题易错将a(1＋25%)20－20b认为是20年后木材存量．每年的砍伐量是一个常数，但是a(1＋25%)20表示按每年均不砍伐时，20年后木材的存量，其中包含了每年被砍去的木材也按25%的年增长率在生长，故上式错误．
解决与数列有关的实际应用问题时，一定要理清各个量之间的关系，正确地将实际问题转化为数学模型．