北师大版必修43.2平面向量基本定理课时训练

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.2 平面向量基本定理  作业

1、已知向量，，，则向量可用向量表示为（    ）

A． B． C． D．

2、已知为的重心，为边上的中线，令，，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．

3、在中，为边上的中线，为的重心，则（    ）

A. B. C. D.

4、已知向量，，若∥，则（    ）

A． B． C． D．

5、向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若λμ（λ，μ∈R），则（　　）

A．2 B．4 C． D．

6、设点是的重心，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

7、已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（    ）

A. B.45 C. D.

8、延长线段到点，使得，点在线段上运动，点直线，满足，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

9、在中，是的中点，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

10、已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是(  ),

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C、D可能同时在线段AB上

D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

11、设，是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ）

A．+和- B．和+ C．+和+ D．-和+

12、下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

13、已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.

14、已知正方形的边长为，当每个取遍时，的最大值是____________.

15、设为所在平面内的一点，若，，则______.

16、已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_______；

17、如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)设，将用，，表示；

(2)设，，证明：是定值．

18、已知、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2），=（﹣2，3），=（﹣2，m）

（1）若⊥（+），求||；

（2）若k+与2﹣共线，求k的值．

19、在中，，，点为与的交点，记，．

（1）用、表示、；

（2）求．

参考答案

1、答案B

根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.

详解

根据平面向量基本定理,可设

代入可得

即,解得

所以

故选:B

名师点评

本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.

2、答案A

由为的重心可得，，结合已知可用表示，然后由共线可求.

详解：解：由为的重心可得，，

∵，，

，

∵共线，

，

则，

故选：A.

名师点评

本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题.

3、答案A

根据重心的性质以及平行四边形法则,即可得出结果．

详解

因为为的重心，所以，

故选：A

名师点评

本题考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于基础题型．

4、答案A

由∥可求得，根据二倍角公式即可求得结果.

详解：由题意，因为，, ∥，

所以，即，

所以

故选：A

名师点评

本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，属于基础题.

5、答案B

如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．

详解

以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系

可得（﹣1，1），（6，2），（﹣1，﹣3）

∵λμ（λ，μ∈R），

∴，解之得λ＝﹣2且μ，

因此，则4

故选B．

名师点评

本题考查了向量的坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6、答案C

取BC的中点D，由三角形重心的性质可得，由向量的加法可知：，进而可得解.

详解

因为点是的重心，取BC的中点D，则，

又，所以，

又，所以，

故选：C.

名师点评

本题主要考查了向量的加法及向量共线，平面向量基本定理的应用，属于简单题.

7、答案C

通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可

详解

解：由图中几何关系可知，,,,

，,∴，即．

则，

答案选C

名师点评

本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键

8、答案C

设，，由平面向量三点共线定理可知，将其化为，则可将表示成关于的二次函数，结合，则可求得其取值范围.

详解：不妨设，，

则，

，

，，，

则，

.

故选：C.

名师点评

本题考查了平面向量三点共线定理，二次函数在闭区间上的值域，属于中档题.

9、答案A

根据向量的运算得到

设BC=x,

,代入上式得到结果为.

故答案为：A。

名师点评：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

10、答案D

根据向量共线定理得到四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.

详解

解：由，，可得：四点共线，

对于选项A，若C是线段AB的中点，则，则，不满足，即选项A错误；

对于选项B，若D是线段AB的中点，则，则，不满足，即选B错误；

对于选项C，若C、D同时在线段AB上，则，则，不满足，即选项C错误；

对于选项D，假设C、D同时在线段AB的延长线上，则 ，则，则不满足，即假设不成立，即C、D不可能同时在线段AB的延长线上，即选项D正确；

故选：D.

名师点评

本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.

11、答案D

结合平面向量基本定理及基底的条件即可判断．

详解

解：，是平面内的一组基底，

，不共线，

而，

则根据向量共线定理可得，，

根据基底的条件，选项不符合题意，

故选：．

名师点评

本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题．

12、答案A

判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.

详解

对于A选项，，，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，，，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；

对于C选项，，，则，C选项中的两个向量不能作基底；

对于D选项，，，则，D选项中的两个向量不能作基底.

故选：A.

名师点评

本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

13、答案2

由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解.

详解：是平面向量的一组基底，且，

，解得，

.

故答案为：2.

名师点评

本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

14、答案

可采用建系法，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的坐标公式，再结合的取值特点和表达式综合分析求解最值即可

详解

如图：

则，，，，，，

令

又因为取遍，

所以当，时，有最小值；

因为和的取值无关联，或，

所以当和分别取得最大值时，有最大值，

所以当，时，有最大值

故答案为：

名师点评

本题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类讨论求解最值，综合性强，着重考查分类能力，归纳整理能力，属于中档题

15、答案

根据平面向量基本定理可得，进而可得结果.

详解：如图：

由图可知，

即有，

所以，，

则，

故答案为：.

名师点评

本题主要考查了向量共线及平面向量的线性运算，属于基础题.

16、答案

设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，即可求出轨迹方程．

详解

设，则，因为,

所以，即，当，即，即．

故答案为：．

名师点评

本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．

17、答案：：分析

（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知，再根据和即可

（2）根据（1）结合，知：，再根据是的重心知：

，最后根据不共线得到关于的方程组即可求解

详解

(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.

(2)证明一方面，由(1)，得

＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①

另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②

而，不共线，∴由①②，得解得

∴＋＝3(定值)．

名师点评

本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．

18、答案：：（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．

（2）根据向量共线的条件即可求出．

试题解：（1）

∵，∴？…

∴m=﹣1∴

∴=

（2）由已知：，，

因为，

所以：k﹣2=4（2k+3），

∴k=﹣2

考查目的：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．

点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行，属于基础题．

19、答案（1）；（2）．

试题分析：（1）由可求得，，再由平面向量的减法可得出关于、的表达式；

（2）由、、三点共线，可，，由、、三点共线，设，，根据平面向量的线性运算得出关于、的两个表达式，由此可得出关于实数、的方程组，解出即可得出的值.

详解

（1），，即，

，因此，；

（2）、、三点共线，令，，

则有，即．

又、、三点共线，则再设，，

则有，即，

由平面向量基本定理可知，，，即．

因此，．

名师点评

本题考查利用基底表示向量，同时也考查了利用平面向量的基本定理求参数，考查计算能力，属于中等题.