北师大版必修43.2平面向量基本定理课后测评

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.2 平面向量基本定理 作业

1、在中，已知，，，于，为的中点，若，则，的值分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

2、如图，已知，，，，若，（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、已知向量，，，则向量可用向量表示为（    ）

A． B． C． D．

4、如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至点E，使得.若点P为线段DC上的点，．且，则（    ）

A．1 B． C． D．

5、在矩形中，为中点，在边上运动，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6、设分别是的边上的点,,,若(均为实数),则(    )

A． B． C． D．

7、对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（    ）

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

8、已知，点在内，且，设，则（    ）

A． B． C． D．

9、在正方形中，、分别是、的中点，若，则实数（     ）

A． B． C． D．

10、设是平面内两个不共线的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

11、如图，在矩形中，和分别是边和的点，满足，若，其中，则是(     )

A． B． C． D．1

12、下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

13、如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.

14、平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为             

15、设向量，，若，则实数=___________.

16、如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是___；当时，y的取值范围是___.

17、光线从点射入，经x轴上点P反射后，经过点，求点P的坐标．

18、已知向量，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若与垂直，求实数的值.

19、设两个非零向量与不共线.

(1)若，，，求证：，，三点共线；

(2)试确定实数，使和共线.

参考答案

1、答案B

由平面向量线性运算法则结合图形可得，再由平面向量基本定理即可得解.

详解：因为，，所以，所以，

又因为为的中点，

所以

，

故，.

故选：B.

名师点评

本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

2、答案C

根据图形特点，可建立直角坐标系，利用坐标法表示出，进而可求出，值．

详解

建立如图所以坐标系，根据条件不妨设，，，

则，

所以，解得，，

所以，

故选：C．

名师点评

本题考查平面向量基本定理的坐标运算，考查数形结合思想和基本运算求解能力，属于基础题．

3、答案B

根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.

详解

根据平面向量基本定理,可设

代入可得

即,解得

所以

故选:B

名师点评

本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.

4、答案D

选取为基底，其他向量都用基底表示，可得．

详解

由题意是中点，

，

，

∵，

∴，解得，∴．

故选：D.

名师点评

本题考查平面向量基本定理，解题时选取基底，用基底表示其他向量进行运算即可．

5、答案C

作出图形，根据向量加法的三角形法则将用基底、表示，结合可求出实数的取值范围.

详解

如下图所示：

，，

在线段上，且与方向相反，所以，.

故选：C.

名师点评

本题考查了平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，计算能力，属于中档题．

6、答案D

由已知可得，转化以为起点的向量表示，将用表示，再由 ，结合已知条件，即可求解.

详解

，，

，

，

.

故选:D.

名师点评

本题考查向量的线性运算及几何意义，考查向量基本定理，属于基础题.

7、答案B

由已知得，可得，利用共面向量定理即可判断出．

详解：解：由已知得，

而，

四点、、、共面．

故选：．

名师点评

本题考查了共面向量定理，属于基础题．

8、答案C

根据题意,建立平面直角坐标系.求得直线的方程,设出点的坐标,由平面向量的坐标运算,即可求得的值.

详解

因为

由平面向量数量积定义可知

所以以为坐标原点,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立平面直角坐标系.

由可知

因为点在内,且

所以直线的方程为.设

由

可得

由向量的坐标运算可得,即

所以

故选:C

名师点评

本题考查了坐标方法在平面向量基本定理中的应用,属于基础题.

9、答案C

将向量、用、表示，进而可将、用、表示，再由向量加法的平行四边形法则得出，代入可求得实数、的值，由此可得出的值.

详解：因为，①；

，②

由①②得，，

，

因为，所以，，.

故选：C.

名师点评

本题考查利用平面向量的基本定理求参数，解答的关键在于选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

10、答案B

根据三点共线，设，得，根据平面向量基本定理可知，得到，之后根据已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最值的求解方法，利用基本不等式求得结果.

详解：因为，若三点共线，设，

即,

因为是平面内两个不共线向量，

所以，解得，

即，

则

，

当且仅当，即，即时取等号，

故最小值为4，

故选：B.

名师点评

该题考查的是有关向量与不等式的综合题，涉及到的知识点有平面向量共线的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.

11、答案B

以为基底向量表示，利用平面向量基本定理可求的值，从而得到的值.

详解

由矩形可得，

又，，

所以

，

因为不共线，故 ，从而，所以.

故选：B．

名师点评

本题考查平面向量基本定理的应用，注意与向量系数有关的计算，应根据题设条件选择一组合适的基底向量，再用基底向量表示目标向量，从而得到系数满足的条件，本题为中档题.

12、答案A

判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.

详解

对于A选项，，，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，，，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；

对于C选项，，，则，C选项中的两个向量不能作基底；

对于D选项，，，则，D选项中的两个向量不能作基底.

故选：A.

名师点评

本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

13、答案

根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.

详解：解:如图建立直角坐标系：

设，

则，，

点在线段上，且，所以，

因为在中，，，

所以，

由题知，是等腰三角形.

所以，

所以，

，

，，，

若，

则，

，解得，，

所以.

故答案为：.

名师点评

本题考查向量的线性运算，当直接运用向量的三角形法则与平行四边形法则较困难时，可借助坐标，转化成两向量相等，则对应坐标相等，进而通过方程思想来求解.

14、答案

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

详解：因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB:

名师点评

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

15、答案

由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值.

详解

由题意可得：，即：，

据此有：.

故答案为：．

名师点评

本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16、答案     

由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，得到x的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到y的取值范围.

详解

解：如图，,点在射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，

故x的取值范围是；

当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，,

故y的取值范围是：.

名师点评

本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.

17、答案

试题分析：根据对称得入射点关于轴的对称点与，三点共线，再根据斜率公式求参数.

详解

设．由题意知，轴是镜面，入射点关于轴的对称点为，则点应在反射光线所在的直线上，即，，三点共线．

所以，所以，解得．故．

名师点评

本题考查两点间斜率公式以及反射对称问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

18、答案(1)(2)

试题分析：分析：1）由，可得，从而可得结果；（2）求出，，利用，列方程求解即可.

详解：（1）∵∴，∴

（2）∵

，

而

∴

∴

名师点评：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

19、答案(1)证明见(2)

试题分析：（1）利用向量共线定理即可证明；

（2）利用向量共线定理即可证明．

详解

（1）∵，，，

∴，

∴与共线，又它们有公共点，

∴，，三点共线.

（2）∵和共线，

∴存在实数，使，即，

∴，

∵与是不共线的两个非零向量，

∴，解得.

名师点评

本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.