北师大版必修43.1数乘向量精练

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.1 数乘向量   作业

1、在中，，，若点满足，则（    ）

A． B． C． D．

2、如图，已知＝ ，用，表示，则等于(　　)

A． －     B． ＋     C．－ ＋     D．－ －

3、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，当最小时，(     )

A.   B.

C.   D.

4、设中边上的中线为，点O满足，则（   ）

A． B． C． D．

5、如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（  ）

A． B．

C． D．

6、如图，在中，是边延长线上一点，，则（    ）

A． B．

C． D．

7、已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（    ）

A．   B．

C． D．

8、在中，，F为中点，则（    ）

A. B. C. D.

9、在正方形中，点，分别满足，，且，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

10、在中，为线段上的一点，，且，则（     ）

A．， B．，

C．， D．，

11、设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)

A．＝－＋ B．＝－＋

C．＝－ D．＝－

12、在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（    ）

A． B． C． D．

13、如图，在△ABC中，=,P是BN上的一点，

若=m+，则实数的值为___________.

14、在中，，，，为边上的高，为的中点，，则的值为__.

15、在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：，点P（2，2），M，N是圆O上相异两点，且PMPN，若，则的取值范围是      ．

16、在平行四边形ABCD中，AD= ，AB=2，若 ，则 =_____．

17、一航船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

18、已有△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：(1)|a－b|＝|a|；

(2)|a＋(a－b)|＝|b|.

19、已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ) (λ∈R，λ≠0且λ≠1)．

(1)求证：A，B，M是三点共线；

(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．

参考答案

1、答案A

由平面向量减法的三角形法则可得出，由此可解出.

详解

，，.

故选：A.

名师点评

本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.

2、答案C

＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－ ＋ ，选C.

3、答案C

根据向量的数量积的概念得出

，要使最小，则需最长，从而得出点N与点D重合时，最小，再利用向量的加法三角形法则表示，得解.

详解

因为，且确定向量的夹角时需平移向量使两向量共起点，所以

，而在中，，

所以，

所以当最小时，线段最长，由图象可知点N与点D重合时，线段MH最长，此时最小，

因为，所以点H是AM的中点，

则

，

故选：C．

名师点评

本题考查向量的线性运算及向量投影的几何意义的应用,考查向量的数量积的概念，注意在确定两向量的夹角时，需两向量共起点，属于中档题.

4、答案A

根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可．

详解

中边上的中线为，点O满足，如图所示：

由，且为的中点，所以为的三等分点靠近点，

且，，又，

从而，即，

所以+

=.

故选：A

名师点评

本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．

5、答案B

利用向量的加减运算求解即可

详解

据题意，．

故选B．

名师点评

本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题

6、答案B

利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解.

详解：由题得.

故选：B

名师点评

本题主要考查平面向量的三角形加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

7、答案C

根据向量的加法和减法运算，线性表示向量，可得选项.

详解：如图，∵，

∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.

故选：C.

名师点评

本题考查向量的线性表示，属于基础题.

8、答案B

利用三角形对边中点的向量公式拆解，得，再利用向量的线性运算减法公式进行求解

详解

如图所示：

，又因为，所以．

答案选B

名师点评

本题考查向量的线性运算，解题核心在于怎样将任意向量转化成两组基底向量，通常涉及方法有向量的加法及减法线性运算公式，如本题中，的转化

9、答案B

利用向量线性运算，结合列方程，由此求得的值.

详解：依题意，，，

所以

，

所以，解得.

故选：B

名师点评

本小题主要考查平面向量的线性运算，属于中档题.

10、答案A

根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出x，y的值

详解

由题意，∵，

∴，即 ，

∴，即

故选：A．

名师点评

本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．

11、答案B

根据向量表示求结果.

详解

因为O为AD边上靠近点A的三等分点，所以＝＋,

因为点D为△ABC中BC边上的中点，＝＋＝-＋－＋,

选B.

名师点评

本题考查向量表示，考查基本分析化简能力，属基本题.

12、答案C

根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可.

详解：故选：C

名师点评

本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.

13、答案

因为=，=m+=

又P是BN上的一点，所以的值为．

14、答案

先求出，利用向量的减法法则及运算律，可得，再根据向量加法的平行四边形法则得到，借助平面向量基本定理，即可得解.

详解：如图，

，，，

，

又因为，

所以，

，

，

为的中点，

，

，解得，，

.

故答案为：.

名师点评

本题主要考查向量的数乘运算、向量加法的平行四边形法则、向量的减法法则及平面向量基本定理，考查了计算与推理能力，属于中档题.

15、答案

由已知可得 设到直线的距离分别是， ，又，设，，,,,又， ，可知分别在圆,由下图可得 的取值范围是．

考点向量及其运算.

方法点晴本题主要考查向量及其运算，其中涉及数形结合思想，计算繁杂，属于较难题型。由已知可得由已知可得 设到直线的距离分别是， ，又 分别在圆的取值范围是．

16、答案

由知点F 为BC中点

17、答案如图所示，

表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，

||＝5.∵四边形OACB为矩形，

∴||＝＝5，||＝＝10，

∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.

18、答案如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，有

||＝||，||＝||.

(1)在△ACM中，＝－＝a－b.

于是由||＝||，

得|a－b|＝|a|，

(2)在△MCB中，＝＝a－b，

所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)．

从而由||＝||，

得|a＋(a－b)|＝|b|.

19、答案(1)∵＝λ＋(1－λ) ，

∴＝λ＋－λ，

－＝λ－λ，

∴＝λ (λ∈R，λ≠0且λ≠1)．

又∵与有公共点A，

∴A，B，M三点共线．

(2)由(1)知＝λ，

若点B在线段AM上，

则与同向且||>||(如图所示).∴λ>1.