数学必修43.2平面向量基本定理同步练习题

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.2 平面向量基本定理   作业

1、有下列说法，其中错误的说法为（    ）．

A．若∥，∥，则∥

B．若，则是三角形的垂心

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．若∥，则存在唯一实数使得

2、如图，在正方形中，是边的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

3、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，若，则的值是（   ）

A. B.2 C. D.3

4、已知向量，，，则向量可用向量表示为（    ）

A． B． C． D．

5、如图，在矩形中，和分别是边和的点，满足，若，其中，则是(     )

A． B． C． D．1

6、设，是不共线的向量，已知，，，则（    ）

A．三点共线 B． 三点共线

C． 三点共线 D． 三点共线

7、为三角形内部一点，？？均为大于1的正实数，且满足，若？？分别表示？？的面积，则为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9、下列说法中正确的是（    ）

A．

B．若且//，则

C．若，则

D．若//，则有且只有一个实数，使得

10、如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(    )

A．与 B．与

C．与 D．与

11、如图,平行四边形中,,分别是,中点,与交于点．若,,则(    )

A． B． C． D．

12、下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

13、已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_______；

14、如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且．有以下结论：

①当x＝0时，y∈[2，3]；

②当P是线段CE的中点时，；

③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；

④x﹣y的最大值为﹣1；

其中你认为正确的所有结论的序号为_____．

15、设向量，分别为单位向量，且夹角为，若，，则______．

16、已知向量，，若与共线，则______．

17、已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，．

（1）若，，共线，求的值；

（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标．

18、平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．

(1)求满足的实数m，n；

(2)若，求实数k；

19、设是不共线的非零向量，且.

（1）证明：可以作为一组基底；

（2）若，求λ，u的值.

参考答案

1、答案AD

分别对所给选项进行逐一判断即可.

详解：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；

对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；

对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.

故选：AD

名师点评

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

2、答案A

利用平面向量的加法法则可得出关于、的表达式.

详解：因为在正方形中，是的中点，

设，，则.

故选：A.

名师点评

本题考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

3、答案A

将,作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得

=,再由运算即可得解.

详解

解：因为在中，D是BC的中点，E在边AB上，，

所以==

,

又，所以，

即,

故选A.

名师点评

本题考察了平面向量基本定理，属中档题.

4、答案B

根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.

详解

根据平面向量基本定理,可设

代入可得

即,解得

所以

故选:B

名师点评

本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.

5、答案B

以为基底向量表示，利用平面向量基本定理可求的值，从而得到的值.

详解

由矩形可得，

又，，

所以

，

因为不共线，故 ，从而，所以.

故选：B．

名师点评

本题考查平面向量基本定理的应用，注意与向量系数有关的计算，应根据题设条件选择一组合适的基底向量，再用基底向量表示目标向量，从而得到系数满足的条件，本题为中档题.

6、答案C

根据条件表示出，结合选项进行判断.

详解：因为，，，

所以.

所以 三点共线.

故选：C.

名师点评

本题主要考查利用向量判断三点共线问题，找出向量间的平行关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

7、答案A

利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．

详解

解：由，

如图设

，即是的重心

同理可得，

所以．

故选：．

名师点评

本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题．

8、答案C

根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.

详解：因为，，分别是边，，上的中线，它们交于点，

所以点是的重心.

选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；

选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确；

选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；

选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.

故选：C

名师点评

本题考查了三角形重心的性质，考查了平面向量共线定理和平面向量加法的几何意义，属于基础题.

9、答案AC

采用逐一验证法，根据相反向量以及共线向量的概念并结合向量的运算，简单计算，可得结果.

详解：由互为相反向量，则，故A正确

由且//，或，故B错

由，则两边平方化简可得，所以，故C正确

根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除零向量

故选：AC

名师点评

本题考查向量的相反向量以及向量共线基本定理，还考查了向量垂直，主要考查概念的理解以及简单计算，属基础题.

10、答案D

根据向量共线定理求解即可.

详解：对A项，设，则，无解

对B项，设，则，无解

对C项，设，则，无解

对D项，，所以两向量为共线向量

故选：D

名师点评

本题主要考查了基底的概念及辨析，属于基础题.

11、答案A

利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可.

详解

平行四边形中,,分别是,中点,与交于点

,,,

.

故选：A

名师点评

本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.

12、答案A

判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.

详解

对于A选项，，，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，，，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；

对于C选项，，，则，C选项中的两个向量不能作基底；

对于D选项，，，则，D选项中的两个向量不能作基底.

故选：A.

名师点评

本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

13、答案

设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，即可求出轨迹方程．

详解

设，则，因为,

所以，即，当，即，即．

故答案为：．

名师点评

本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．

14、答案②③④

利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②对,利用三点共线解得④对

详解

对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错

对于②当P是线段CE的中点时，

故②对

对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对

对④，，令，则，当共线，则，当平移到过B时，x﹣y的最大值为﹣1，故④对

故答案为②③④

名师点评

本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题

15、答案

根据平面向量的数量积运算即可.

详解

.

故答案为：

名师点评

本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型.

16、答案

根据向量共线的方法分析系数关系即可.

详解

因为与共线,故,

又,不共线,根据平面向量基本定理得.

故.

故答案为：

名师点评

本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.

17、答案（1）；（2）或．

试题分析：（1）利用，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.

（2）设点的坐标为，利用，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.

详解：（1）；

∵、、共线，∴

∴

∴．

（2）∵在直线上，∴设

∴

∵

∴

即：

解得：或.

∴或．

∴点的坐标为或．

名师点评

本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.

18、答案（1）；（2）.

试题分析：(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由,可得，由此能求出的值.

详解

(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；

(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.

名师点评

本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

19、答案（1）证明见；（2）.

试题分析：（1）假设共线，结合平面向量基本定理，即可证明；

（2）根据平面向量基本定理，列出方程组，求得参数即可.

详解：（1）证明：假设＝λ(λ∈R)，

由，不共线，得

∴λ不存在，故与不共线，可以作为一组基底，

（2）解：由4－3＝λ＋u，得

4－3＝λ(－2)＋u(＋3)

＝(λ＋u)＋(－2λ＋3u)，

所以解得

名师点评

本题考查平面向量基本定理的应用，属综合基础题.