高中数学北师大版必修2本节综合课后作业题

2.2圆与圆的方程同步练习北师大版高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列关于圆的说法中，一定正确的是   

A. 的圆心是
B. 的半径是
C. 的圆心是
D. 且的半径是

3. 若圆：和圆：没有公共点，则实数k的取值范围是

A.  B.
C.  D.

4. 设A，B是直线与圆的两个交点，则线段AB的垂直平分线方程是

A.  B.
C.  D.

5. 圆在点处的切线方程为

A.  B.
C.  D.

6. 已知圆O：和点，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

A.  B. 10 C.  D. 5

7. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

8. 点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于       

A.  B.  C. 3 D. 1

9. 已知点P是直线的动点，过点P引圆的两条切线，切点为，当的最大值为时，则   

A.  B. 1 C.  D. 2

10. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于     

A. 14 B. 34 C. 14或45 D. 34或14

11. 设直线l：，圆C：，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，Q为切点满足，则a的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

12. 若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若是圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为              ．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：与圆C：的两个交点．当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为________．
15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且，的最大值为          ．
16. 若：与：相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是          ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 已知O为坐标原点，直线l与圆交于A、B两点，，点M为线段AB的中点则点M的轨迹方程是      ，的取值范围为      ．
18. 已知直线与圆：和圆：均相切，则          ，          ．
19. 已知圆C的圆心坐标是，半径长是若直线与圆C相切于点，则          ，          ．
20. 已知点在圆上运动则的最大值为           ，的最小值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切．
    求圆C的标准方程．
    求直线与圆C相交的弦长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知点，，以AB为直径的圆记为圆C．

求圆C的方程；

若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．






 

23. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为．
    
    当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
    己知直线l与圆C相交于A，B两点．
    若，求实数k的取值范围；
    直线AM与直线BN相交于点P，直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为，，，是否存在常数a，使得恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线l：上，
    求圆心为C的圆的标准方程；
    若线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程．
    
    
    
    
    
    
     
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线l的方程为．

求圆C的方程；

过点作圆C切线，求切线方程

当时，Q为直线l上的点，若圆C上存在唯一点P满足，求点Q的坐标；

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查直线与圆位置关系，属于中档题．
根据题意，可知曲线表示一个半圆，作出图象，直线与曲线有两个公共点，可得实数m的取值范围．
【解答】

解：根据题意，可知曲线表示一个半圆，
直线表示与斜率相同的直线，
其中m表示直线l在y轴上的截距，作出图像，如图所示．
由图可知直线及，之间与平行的直线与半圆有两个交点，
直线，在y轴上的截距分别为，，
所以实数m的取值范围是，
故选B．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的一般方程化标准方程，利用配方分式是解决本题的关键，属于中档题．
利用配方法即可得到圆的标准方程，进而求出圆的圆心和半径．

【解答】

解：由，得，圆心为，故A错误；
B.由，得，
圆心为，半径为，故B正确；
C.由，得，圆心为，故C错误
D.由，得，
圆心为，半径为，故D错误．
故选B．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查圆与圆位置关系，考查计算能力，是中档题．
求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【解答】
解：化圆：为，
则，圆心坐标为，半径为，
圆：的圆心坐标为，半径为1．
要使圆：和圆：没有公共点，
则或，
即或，
解得或．
实数k的取值范围是．
故选：D．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查直线方程的求法，属于基础题．
由圆的性质可知弦的垂直平分线必过圆心，且垂直平分线垂直于AB，由此求出圆心为，，利用点斜式写出直线方程．
【解答】
解：由圆的性质可知弦的垂直平分线必过圆心，且垂直平分线垂直于AB，
由圆得，圆心为，
又，且，
，
线段AB的垂直平分线的方程为，
整理得：．
故选D．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查求圆的切线方程，属于基础题．
因为点P在圆上，所以点P是切点，圆心与切点的连线与切线垂直，由此求出切线斜率，利用点斜式写出切线方程．
【解答】
解：因为点在圆上，
所以点P是切点，圆心与点P的连线与切线垂直，
又因为圆心，故斜率为，
所以切线斜率为，
所以切线方程为，
即．
故选D．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．判断A是切点是解决本题的关键．
判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】
解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
故OA的斜率，切线斜率为，
则切线方程为：，
即，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为．
故选A．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的方程及点到直线距离公式，属于中档题．
由题意，为的底边长，点P到直线的距离为的高h，利用圆上点到直线距离的最大值与最小值即可求出．

【解答】

解：直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
令，得，令，得，
，，，
点P到直线的距离为的高h，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
所以点P到直线的距离h的最大值为，最小值为，
则面积为，
最大值为，
最小值为，
所以面积的取值范围为．
故选A．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径即可．

【解答】

解：的圆心坐标，
因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：对称，
所以直线l：经过圆心，所以，解得，
所以圆的方程为：，
即，
所以圆的半径为3．
故选C．

9.【答案】A
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质，属于中档题．
根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得当时，最大，求出圆心到直线l的距离d，由三角函数的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆C：的圆心为，
因为点P在直线l：上，连接PC，
当时，最大，此时，则，
此时圆心C到直线l的距离，
若，则；
故选A．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系及圆的一般方程和标准方程，属于中档题．
由圆的方程，得a的范围，然后求出圆，的圆心坐标和半径，再利用圆外切和内切求解即可．

【解答】

解：由圆得，解得，
圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以再圆外切或内切，
若两圆外切，则，
解得，符合，
若两圆内切，则，
解得，符合，
综合得实数a等于34或14．
故选D．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键，属于中档题．
由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．

【解答】

解：圆C：，圆心为：，半径为，
在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，Q为切点满足，
在直线l上存在一点M，使得M到的距离等于2，
只需到直线l的距离小于或等于2，
故，解得，
故选：C．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据直线与圆有公共点和点到直线的距离公式，可得，解之即可．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为直线与圆有公共点，
所以，即，
解得．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由P与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．
【解答】
解：由圆的方程得圆心坐标为，
所以．
则直线AB的斜率为，
由点斜式方程得．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆的方程的求法，直线和圆的位置关系，属于中档题．
由题意求出直线与圆的交点，当这两个交点的连线段为圆的直径时，圆的面积最小，从而求出圆心和半径得出圆的标准方程．
【解答】
解：，解得：或
则交点为，，
当以AB为直径时，圆M的面积最小．
圆心，半径为，
则圆的方程为．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及点的轨迹方程，属于拔高题．
不妨设，，设，根据向量的坐标运算和数量积运算得到，结合图形即可求出最大值．

【解答】

解：如图建立直角坐标系，将的起点移至坐标原点，

，是相互垂直的单位向量，
不妨设，，
设，
，，
，
，
，
，
向量终点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
圆心到原点的距离为1，
的最大值为．
故答案为．

16.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断利用垂直结合勾股定理解题．
【解答】
解：由题知，，且，又，
则有，得．
故．
故答案为4．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查与圆相关的轨迹方程，圆的标准方程以及向量的加减运算，把圆C：化为标准方程求出圆心坐标与半径，线段AB的中点为M则，
所以，所以点M在以点C为圆心，为半径的圆上，即可得到点M的轨迹方程；所以又因为点M是线段AB的中点，所以，即可求出的取值范围．
【解答】
解：圆化为，设圆心为C，
圆心C的坐标为，半径，线段AB的中点为M
则，所以，
所以点M在以点C为圆心，为半径的圆上，即点M在圆上，
所以点M的轨迹方程是；
所以，
因为点M是线段AB的中点，所以，所以．
故答案为；．  

18.【答案】 ；

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆相切的性质，考查方程思想，属于中档题．
根据直线l与两圆都相切，分别列出方程，，解得即可．

【解答】

解：由条件得，，，，
因为直线l与，都相切，
故有，，
则有，故可得，整理得，
因为，所以，即，
代入，解得，则，
故答案为：；．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法．
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．

【解答】

解：如图，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．
圆心为，则半径．
故答案为：；．

20.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，属于一般题．
令，再根据圆心到直线的距离不大于半径即可解出．
令，再根据圆心到直线的距离不大于半径即可解出．
【解答】
解：令，整理得：，
由计算得出：．
所以得最大值为．
令，整理得出：．
由计算得出：，
所以得最大值是，
故答案为；  

21.【答案】解：由题意设圆C的方程为，
圆与直线相切，
圆心到直线的距离，
解得或舍去，
圆C的方程为；
圆心到直线的距离：
，
所以弦长为．
 

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，属于基础题．
利用点到直线的距离，求得a值，即可得圆的标准方程；
利用圆心到直线的距离，得的值，即可求解．
 

22.【答案】解：由，，得AB的中点坐标为，

即圆心坐标为，半径，

圆C的方程为；

由题意可得，直线l的斜率存在，设直线方程为，

即．

圆心C到直线l的距离，

再由，可得弦心距为，

则，解得或．

直线l的方程为或．

【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．
求出AB的中点坐标，得到圆心坐标，再求出AB的长度可得圆的半径，则圆的方程可求；
设直线方程为，由已知弦长可得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求．
 

23.【答案】解：由题意，
圆心C到直线l的距离，
直线l与圆C相切，
，解得，
直线．
由题意得，
解得，
由知，
，
．
，
与圆联立，
得，
，，
，
同理，得，
，
，
即，
，，
设，
则
，即，
，
，
存在常数，使得恒成立．
 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，两点求斜率，属于难题．
由题意，圆心C到直线I的距离由直线I与圆C相切得由此能求出直线I．
由题意得从而由此能求出实数k的取值范围．
，与圆联立，得由韦达定理求出A，B的坐标，从而得到由此能证明存在常数，使得恒成立．
 

24.【答案】解：设圆心的坐标为，
则有，
整理求得，
故圆心为，，
则圆的方程为．
设线段PQ中点，，
由题意知：，，
点P在圆上运动，
，
的轨迹方程为．
 

【解析】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键，为中档题．
设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
线段PQ中点，，由题意知，，由点P在圆上运动，能求出点M的轨迹方程．
 

25.【答案】解：设圆的方程为，将M，N坐标代入，
得： 
解得
所以圆的方程为

当切线斜率不存在时，直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为或．
设，，则，

化简得，
此圆与圆C相切，
所以有，解得，
所以或．

【解析】本题考查圆的方程的求解及圆与圆的位置关系，同时考查直线与圆的位置关系．
由已知设圆的标准方程，将M，N的坐标代入求解即可
待定系数法，设直线方程，由圆心到直线距离等于半径可得k值，验证直线无斜率的情况即可
由得P的轨迹为圆，此圆与圆C相切，利用两圆的位置关系求解即可．