高中北师大版第二章 解析几何初步1直线与直线的方程本节综合练习题

2.1直线与直线的方程   同步练习

北师大版高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 过点且垂直于直线的直线方程为 

A.  B.  C.  D.

2. 经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为

A.  B.
C.  D.

3. 点到直线l：的距离是

A. 3 B.  C. 1 D.

4. 等边三角形PQR中，，，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为     

A.  B.
C. 和 D. 和

5. 两直线和分别过定点A，B，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是   

A.  B.
C.  D.

7. 直线的一个方向向量是

A.  B.  C.  D.

8. 三点，，在一条直线上，则k的值为

A.  B.  C.  D.

9. 过点与点的直线的倾斜角为

A.  B.  C. 或 D.

10. 点到直线的距离等于

A. 7 B. 5 C. 3 D. 2

11. 已知直线，，若，则实数m的值为 

A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或

12. 经过直线：和：的交点，并且经过原点的直线的方程是 

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知直线l过点且与点，等距离，则直线l的方程为          
14. 已知直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，则直线l的斜率为          ．
15. 若直线与直线平行，则实数          ．
16. 已知直线l的倾斜角是，且过点，则直线l在y轴上的截距是          ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 已知直线：和：若，则实数          ，两直线与间的距离是          ．
18. 直线过定点          ；若与直线平行，则它们之间的距离为          ．
19. 直线与直线平行，则          ，与的距离为          。
20. 两直线和的交点为          ，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

21. 已知直线l经过直线与直线的交点P．

若直线l平行于直线，求直线l的方程；

若直线l垂直于直线，求直线l的方程．






 

22. 若直线l过点，且与已知直线：相交于B点，若，求直线l的方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知两条直线：和：，求满足下列条件的a、b的值．

，且过点；

，且坐标原点到这两条直线的距离相等．






 

24. 已知直线l：．

求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限．

若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．






 

25. 已知两条直线，当m为何值时，与相交？   
    平行？  
    垂直？
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知平面内两点，．
    Ⅰ求过点且与直线AB平行的直线l的方程；
    Ⅱ求线段AB的垂直平分线方程．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用点斜式求直线方程，考查了两条直线的垂直关系，属于基础题．
由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线方程为，化为一般式可得结果．

【解答】

解：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线方程为，
化为一般式为．
故选A．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两条直线的交点及两直线垂直的性质应用，属于基础题．
联立方程和，可求出交点坐标，垂直于直线，可设为，代入交点坐标即可求出该直线的方程．

【解答】

解：由得
因为所求直线与直线垂直，
所以可设所求直线的方程为，
代入点，解得，
故所求直线的方程为．
故选A．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
直接利用点到直线的距离公式求解即可．

【解答】
解：点到直线l的距离．
故选B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求解，涉及等边三角形的知识，属于基础题． 
由题意可得，进而可得所求直线的斜率，可得直线的方程．

【解答】

解：由题意可得，
故直线PR的斜率为：，
故直线PR的方程为：，
而直线QR的斜率为：，
所以直线QR的方程为：，
故选D．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线过定点问题，以及两点之间距离公式，属于基础题．
根据直线方程，求出定点坐标，利用两点之间的距离公式求解距离即可．

【解答】

解：直线过定点，
直线可化简为，
，解得：
所以B点坐标为，
所以，
故选C．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程问题，考查斜率公式，是基础题．
由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．

【解答】

解：由斜率公式可得，
因为，
所以，
所以直线CD的方程为：，
化为一般式可得．
故选A．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的方向向量，属于基础题．
求出直线的斜率，即可求解．

【解答】

解：直线的斜率．
则直线的一个方向向量为，
故选：D．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了斜率计算公式、斜率与三点共线的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三点，，在一条直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出．

【解答】

解：三点，，在一条直线上，
，即，
解得．
故选B．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的倾斜角、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
由斜率公式可得直线AB的斜率，即可求得倾斜角的大小．

【解答】

解：因为直线AB的斜率，
直线AB的倾斜角的范围为
所以直线AB的倾斜角为，
故选A．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
由已知代入点到直线的距离公式即可求解．

【解答】

解：由已知代入点到直线的距离公式可得：
，
故选：A．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两条直线平行的判定，属于基础题．
利用两条直线相互平行的条件即可得出．

【解答】

解：由题意得，
解得：或，
当时，直线的方程为：，直线的方程为：，两直线为同一条直线，两直线重合，故不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为：，直线的方程为：，符合题意．
故．
故选B．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查直线的方程的求解，两条直线的交点坐标，属于基础题．
根据题意，求解即可．
【解答】
解：由解得
与的交点坐标为，
可知：所求的直线方程经过和，
所求的直线方程为，即．
故选C．  

13.【答案】或．
 

【解析】

【分析】

本题考查了点到直线的距离公式，直线方程的求解，属于基础题．
注意分斜率存在和不存在情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可得出结果．

【解答】

解：当直线l斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，
则直线l的方程为，整理得，
点A到直线l的距离为，
点B到直线l的距离为，
，求得或，
直线l的方程为或，
故答案为或．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的变换平移、对称、伸缩、翻折变换和直线的斜截式方程，属于基础题．
设直线l的方程为   ，经过平移变换后得直线的方程为    ，再利用题目条件，比较系数得结论．

【解答】

 解：设直线l的方程为 ，
因为直线l沿x轴向左平移3个单位后得到的直线的方程为，
再沿y轴向上平移1个单位后得到的直线的方程为 ，
而经过平移后回到原来位置，
所以方程应为同一个，
比较系数可得，解得．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用直线平行的性质直接求解．

【解答】

解：直线与直线平行，
，解得，
当时，两直线重合，不符合题意，舍去，
当时，两直线平行且不重合，符合题意，
故实数．
故答案为：．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的点斜式方程，考查直线的斜率问题，属于基础题．
算出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式，从而求得结果． 

【解答】

解：直线l的倾斜角为， 
直线l的斜率， 
由此可得直线l的方程为：，即．
令，可得，
直线l在y轴上的截距是，
故答案为 

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了直线平行的判定和平行线之间的距离公式，属于基础题．
利用直线间的平行判定和平行直线间的距离公式进行求解即可得．

【解答】

解：，，
此时，即：，
之间的距离为．
故答案为．

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线过定点，两直线平行，以及两平行线的距离，属于基础题．
当时，与m无关得直线过定点，由两直线平行得，由平行线间距离公式求解．
【解答】
解：直线即，
当时，，
所以该直线过定点；
若直线与直线平行，
则，
解得，即直线，
与直线之间的距离为．
故答案为；．  

19.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了两条直线平行的判定和两平行直线间的距离，是基础题．
由直线与平行，由斜率相等可得a，再由两平行直线间的距离公式可得与之间的距离．
【解答】
解：由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，
则直线，即，直线即，
所以它们之间的距离为．
故答案为  

20.【答案】  

或．

【解析】解：联立，解得，
两直线和的交点为；
当直线l过原点时，直线方程为，即，
当直线l不过原点时，设直线方程为，则，即．
直线方程为．
经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或．
故答案为：；或．
联立两直线方程即可求得交点坐标；分直线过原点与不过原点分类求解直线方程．
本题考查两直线的交点坐标，考查直线的斜截式方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．
 

21.【答案】解：由，解得，则点．
由于点，且所求直线l与直线平行，
设所求直线l的方程为，
将点P坐标代入得，解得．
故所求直线l的方程为；
由于点，且所求直线l与直线垂直，
可设所求直线l的方程为．
将点P坐标代入得，解得．
故所求直线l的方程为．
 

【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运用求解能力，是基础题．
联立方程组求出点，由点，且所求直线l与直线平行，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．
由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出所求直线l的方程．
 

22.【答案】解：当直线斜率不存在时，方程为，与直线l：相交于，
由距离公式可得，符合题意；
当直线有斜率时，设直线方程为，
联立方程组可得，解得，
由距离公式可得，，否则与已知直线平行，
解得，
所求直线的方程为，即
综上可得所求直线方程为：或．
 

【解析】本题考查直线的方程的求解，交点的求法和两点间的距离公式的应用，考查计算能力和分类讨论的思想，属中档题．
当直线斜率不存在时，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为，联立方程组解交点，由距离公式可得k的方程，解方程可得．
 

23.【答案】解：，
，，
又过点，
，
由，解得：，
的斜率存在，，直线的斜率存在，           
，
即，
又坐标原点到这两条直线的距离相等，，
、在y轴上的截距互为相反数．
即，
由联立解得或
 

【解析】，可得，再由过点，联立解得：，
根据题意，即再根据点到这直线的距离公式求解．
 

24.【答案】解：当时，，

所以直线l恒过定点．

因为点位于第一象限，所以直线l必经过第一象限．

如图，

直线OA的斜率．

若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率，

即．

所以实数a的取值范围为．

【解析】本题考查直线过定点和象限以及参数取值范围问题，属于较易题．
变形为，即可得；
利用直线OA的斜率，若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率，即可得．
 

25.【答案】解：由，解得，．
，时，两条直线相交．
由，解得，．
经过验证：时两条直线重合，舍去．
时，两条直线平行．
时，两条直线不垂直．
时，由两条直线相互垂直可得：
解得．
时两条直线相互垂直．
 

【解析】本题考查了两条直线位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，解得m即可得出．
由，解得m并且经过验证即可得出．
时，两条直线不垂直．时，由两条直线相互垂直可得：解得m即可得出．
 

26.【答案】解：Ⅰ因为，
所以由点斜式得直线l的方程
Ⅱ因为AB的中点坐标为，AB的垂直平分线斜率为
所以由点斜式得AB的中垂线方程为
 

【解析】本题考查直线与直线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
Ⅰ求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．
Ⅱ求出线段AB的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．