数学必修53.3.5 基本不等式的应用习题课件ppt

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1.能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值.(数学运算)2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.(数学建模)
1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.
反思感悟 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).
2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
反思感悟 利用基本不等式求条件最值问题时,若所给条件为ax+by=1或可化为ax+by=1及 =1(其中a,b为常数,x,y为变量),可利用“1”的结构,将待求式子的结构进行调整,优化为可以直接利用基本不等式求最值的式子.
3.含有多个变量的条件最值问题例3若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy.(1)求xy的最大值;(2)求x+y的最小值.
∴[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0,∴x+y≥4(当且仅当x=y=2时,等号成立).(方法2)由(1)可得x+y=8-xy≤8-4=4(当且仅当x=y=2时,等号成立),即x+y的最小值为4.
反思感悟 含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
变式训练3(2021浙江宁波高三期末)若正数x,y满足x2+4xy-4=0,则x+y的最小值是(　　)
例4(2020北京高一月考)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过建造沼气池带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米、容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,怎样设计沼气池才能使总造价最低?最低总造价是多少元?
反思感悟 应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意,设出变量.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)根据实际背景写出答案.
变式训练4如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36 m 长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
解 设每间虎笼长x m,宽y m,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.
一题多解分析要求x+y的最小值,根据基本不等式,应构建某个积为定值.这需要对条件进行必要的变形,可进行“1”的代换,也可以“消元”等.
方法点睛 本题给出了两种方法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是应用基本不等式解决问题的常用方法.在应用基本不等式解决问题时,要学会观察,学会变形.另外,方法二通过消元,化二元问题为一元问题时,要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去x后,原来x的限制条件,应当由代替它的y来“接班”,此限制条件不会因“消元”而凭空消失).
2.(2021湖北直辖县级行政单位高一期末)已知a,b均为正实数,且a+2b=3ab,则2a+b的最小值为(　　)A.3B.4C.6D.9答案 A
3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　　. 
4.(2021安徽宿州高一期末)某电商自营店,其主打商品每年需要6 000件,每年n次进货,每次购买x件,每次购买商品需手续费300元,已购进未卖出的商品要付库存费,可认为平均库存量为 ,每件商品库存费是每年10元,则要使总费用(手续费+库存费)最低,则每年进货次数为　　　　　.