高中数学北师大版必修54.2简单线性规划课后测评

课时分层作业(二十一)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．不等式组表示的平面区域是(　　)

A．矩形　　　 B．三角形

C．直角梯形 D．等腰梯形

B　[不等式组⇔或那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.]

2．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于(　　)

A．2 B．3

C．5 D．9

B　[可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.

]

3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组

所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为

(　　)

A．2 B．1

C．－ D．－

C　[如图所示，

所表示的平面区域为图中的阴影部分．

由

得A(3，－1)．

当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.]

4．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)

B．(－1,2)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D．(2，＋∞)

A　[作出不等组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1，－1)，要使题中不等式组表示的区域为三角形区域，首先必须使k<0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l1与l2，易得k的取值范围是(－∞，－1)．]

5．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是(　　)

A．   B．

C． D．

D　[画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1.]

二、填空题

6.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．

(0,5)　[首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．]

7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．

－10　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.

]

8．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．

　[不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.

]

三、解答题

9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0,1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．

[解]　因为f(x)≤1在[0,1]上恒成立，

所以

即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.

10．设变量x，y满足约束条件求z＝2＋y2的取值范围．

[解]　由作出可行域，如图阴影部分所示．

z＝2＋y2表示可行域内的任意一点与点距离的平方．

因此2＋y2的最小值为点到直线x＋2y－1＝0距离的平方，则zmin＝＝；

z的最大值为点到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则zmax＝.

综上，z的取值范围是.

[能力提升练]

1．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为(　　)

A．－1,4 B．－1，－3

C．－2，－1 D．－1，－2

D　[由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，

∴解得]

2．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为(　　)

A．－3 B．3

C．－1 D．1

D　[如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.]

3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．

4　[由线性约束条件

画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图像过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.

]

4．满足|x|＋|y|≤2的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个．

13　[|x|＋|y|≤2可化为

作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，

容易得到整点个数为13个．]

5．若实数x，y满足且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．

 [解]　在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)．

其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过点A(1,0)，斜率为a.

又由于x2＋y2＝()2.

且x2＋y2的最大值等于34，

所以可行域中的点与原点的最大距离等于.

解方程组得M的坐标为.

解方程组得P的坐标为.

又M.|OM|＝＜.

∴点P到原点的距离最大．∴2＋9＝34，解得a＝.