2020-2021学年4.2简单线性规划学案

4.2　简单线性规划

简单线性规划

阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题

(1)线性规划中的基本概念

(2)线性规划问题

①目标函数的最值

线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当b＞0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；

当b＜0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．

②解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．

(ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

(ⅳ)答：写出答案．

思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？

[提示]　可能唯一，也可能不唯一．

(2)若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？

[提示]　由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．

1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　　)

A．－4　　　　　 B．0

C． D．4

D　[作出可行域，如图所示．

联立解得

当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.]

2．若实数x，y满足，则s＝x＋y的最小值为________．

2　[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，

当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时，s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2.]

3．如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为________．

1　[法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2×1－1＝1.

法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1.]

4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．

　　[画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min＝，|PO|max＝.

]

【例1】　若x，y满足约束条件

则z＝x＋y的最大值为________．

　[由题意画出可行域(如图所示)，

其中A(－2，－1)，B，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B时，z取最大值.

]

用图解法解决线性规划问题的关键和注意点

图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值．

1．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．

－5　[画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z＝x－2y得到－5.]

【例2】　已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．

[解]　依据约束条件，画出可行域．

∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，

目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，

若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.

含参数的线性目标函数问题的求解策略

(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．

(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．

2．(1)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)

A．3　　　　　 B．2

C．－2 D．－3

(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A．或1 B．2或

C．2或1 D．2或－1

(1)B　(2)D　[(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2.

(2)作出可行域，如图中阴影部分所示．

由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.]

[探究问题]

1．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离是什么？

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直线AB的斜率是什么？

[提示]　(1)|AB|＝.

(2)kAB＝.

2．(1)代数式的几何意义是什么？

(2)代数式的几何意义是什么？

[提示]　(1)点(x，y)与(－2,0)间的距离．

(2)点(x，y)与(2，－3)连线的斜率．

【例3】　设实数x，y满足约束条件求

(1)x2＋y2的最小值；

(2)的最大值．

[解]　如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，

(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．

过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为的解，即，

又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝＝，所以，x2＋y2的最小值为.

(2)令v＝，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝.

由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C，

所以vmax＝，所以的最大值为.

1．(变结论)例3的条件不变，求x2＋(y＋1)2的最大值．

[解]　令z＝x2＋(y＋1)2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与(0，－1)的距离的平方，由解得点B的坐标为，由例3的解答可知，点B与(0，－1)间的距离的平方最大，zmax＝2＋2＝.

2．(变条件)把例3的线性约束条件换为求z＝x2＋y2的最小值．

[解]　实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝2＝.

非线性目标函数的最值的求解策略

(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．

(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．

(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．

1．用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z的含义，z一般与直线在y轴上的截距有关．

2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解．(　　)

(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值．(　　)

(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；

(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；

(3)错误，由ax＋by－z＝0得y＝－x＋，知z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上截距的b倍．

2．目标函数z＝－3x＋5y，将其看成直线方程时，z的意义是(　　)

A．该直线在y轴上的截距

B．该直线在y轴上的截距的5倍

C．该直线在x轴上的截距

D．该直线在x轴上的截距的5倍

B　[将目标函数z＝－3x＋5y变形得y＝x＋，所以z的意义是该直线在y轴上的截距的5倍，故选B．]

3．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．

1　[不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，

设t＝x＋2y，

则y＝－x＋，

当x＝0，y＝0时，t最小＝0.

z＝3x＋2y的最小值为1.]

4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，求实数m的值．

[解]　作出满足题设条件的可行域如图所示(阴影部分)，设x＋y＝9，

显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求．

联立方程组解得

即点A(4,5)在直线x－my＋1＝0上，

所以4－5m＋1＝0，得m＝1.