高中数学人教A版必修第一册5.2.1 第2课时 三角函数值的符号及公式课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.2.1 第2课时 三角函数值的符号及公式课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P88]
知识点1 三角函数在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
[微思考]
三角函数在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
知识点2 公式一
1．语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
2．式子表示：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＋k·2π＝sin α，,csα＋k·2π＝cs α，其中k∈Z.,tanα＋k·2π＝tan α，))
[微体验]
1．计算：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,6)))＝________，cseq \f(19π,3)＝________.
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，cseq \f(19π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2) eq \f(1,2)
2．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,6)))＝_________.
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－8π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
[对应学生用书P88]
探究一 三角函数在各象限的符号
(1)α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )
A．sin α B．cs α
C．tan α D．cs α或tan α
(2)若sin θ·tan θ＞0，cs θ·tan θ＜0，则sin θ·cs θ________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
(1)B [α是第四象限角，则cs α为正．]
(2)解析 由sin θ·tan θ＞0，知sin θ与tan θ同号， θ是第一或第四象限角．又cs θ·tan θ＜0，得θ是第三或第四象限角．∴θ只能是第四象限的角．∴sin θ＜0，cs θ＞0.∴sin θ·cs θ＜0.
答案 ＜
[变式探究] 对于本例(2)，若改为“sin θ·tan θ＜0，cs θ·tan θ＞0”，则sin θ·cs θ的符号又如何判断呢？
解析 ∵sin θ·tan θ＜0，∴θ是第二或第三象限角．又cs θ·tan θ＞0，∴θ是第一或第二象限角．∴θ只能是第二象限的角．∴sin θ＞0，cs θ＜0.∴sin θ·cs θ＜0.
答案 <
[方法总结]
判断三角函数值在各象限符号攻略
基础：准确判断三角函数中各角所在象限；
关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度而将角所在象限判断错误．
[跟踪训练1] (1)已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cs(－220°)；③tan(－10)；④cs π.
其中符号为负的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(1)C [因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)D [－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cs(－220°)<0；－10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)π，－3π))，在第二象限，故tan(－10)<0；cs π＝－1<0.]
探究二 公式(一)的应用
计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan 4π.
解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cs 30°＋cs 60°sin 30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)
＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).
[方法总结]
利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤
[跟踪训练2] 求下列各式的值：
(1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；
(2)sin 810°＋cs 360°－tan 1 125°.
解 (1)sin eq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)＋1.
(2)sin 810°＋cs 360°－tan 1 125°[来源:学*科*网]
＝sin(2×360°＋90°)＋cs(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)
＝sin 90°＋cs 0°－tan 45°
＝1＋1－1＝1.
[对应学生用书P89]
1．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2．公式一的作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．应用公式一要把握好其结构特征：
(1)左、右为同一三角函数；
(2)公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏．
课时作业(三十五) 三角函数值的符号及公式一
[见课时作业(三十五)P178]
1．sin(－315°)的值是( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)
C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).]
2．若α为第二象限角，则eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
C [∵α是第二象限角，∴sin α＞0，cs α＜0.
∴eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2.]
3．若tan α·cs α<0，则α在第几象限( )
A．二、四 B．二、三
C．三、四 D．一、四
C [由tan α·cs α<0知tan α>0且cs α<0或tan α<0且cs α>0.若tan α>0且cs α<0，则α在第三象限，若tan α<0且cs α>0，则α在第四象限．]
4．tan 405°－sin 450°＋cs 750°＝________.
解析 原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
答案 eq \f(\r(3),2)
5．下列函数值：①sin 4，②cs 5，③tan 8，其中函数值为正的是________．(填序号)
解析 ∵π＜4＜eq \f(3π,2)，∴sin 4＜0；∵eq \f(3π,2)＜5＜2π，
∴cs 5＞0；∵eq \f(5π,2)＜8＜3π，∴tan 8＜0.
答案 ②
6．求下列各式的值：
(1)sin(－1 320°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)·sin 750°＋tan 495°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,3)π))＋tan eq \f(17,4)π.
解 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cs 30°＋cs 60°sin 30°＋tan 135°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－1＝0.
(2)原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋－4×2π))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2×2π))
＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
1．若三角形的两内角α，β满足sin αcs β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
B [∵sin αcs β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cs β<0，∴β为钝角．]
2．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)(k∈Z)，则t等于( )
A．－eq \f(9,16) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
A [sin(2kπ＋α)＝sin α＝－eq \f(3,5)＜0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0.又sin α＝eq \f(4t,\r(9＋16t2))，则eq \f(4t,\r(9＋16t2))＝－eq \f(3,5)，所以t＝－eq \f(9,16).][来源:学.科.网]
3．sin 780°·cs 390°＋sin(－330°)cs(－1 020°)＝________.
解析 原式＝sin(2×360°＋60°)·cs(360°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cs(－3×360°＋60°)＝sin 60°·cs 30°＋sin 30°·cs 60°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
答案 1
4．(多空题)如果角α的终边经过点P(sin 780°，cs(－330°))，则sin 780°＝________，cs(－330°)＝________，α＝________.
解析 sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
cs(－330°)＝cs(－360°＋30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，tan α＝1，
故α＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
答案 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),2) 2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z
5．(拓广探索)已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，所以sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).