人教版九年级下册第二十九章 投影与视图综合与测试单元测试课时作业

锐角三角函数单元测试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，矩形ABCD的对角线交于点已知，，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

2. 如图，内接于，若，，则的半径为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，，则sinB的值为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为

A. 5 米
B. 米
C.  米
D. 米

5. 已知在中，，，，那么AB的长为

A.  B.  C.  D.

6. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出的值是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则的正弦值为

A. 1
B.
C.
D.

8. 如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，为

A. 1
B. 2
C.
D.

9. 如图所示，菱形ABCD的边长为10cm，，，则这个菱形的面积为    ．

A. 40 B. 60 C. 80 D. 100

10. 如图，在中，，下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.
 

11. 已知为锐角，且，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

12. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，旗杆高，某一时刻，旗杆影子长，则______．
    
     

14. 如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，若，则______．
    
     

15. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．取
16. 如图，中，，CD平分交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的分别交AC、BC于点E、F，，，则劣弧的长为______．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，，试求的值．
    
    
     

18. 先化简再求值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值，其中
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

21. 如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
    若，求证：CE是的切线．
    若的半径为，，求AC的长．
     

22. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子参考数据：，，，？

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：A、四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
由三角形内角和定理得：，故本选项不符合题意；
B、在中，，
即，故本选项不符合题意；
C、在中，，即，故本选项符合题意；
D、四边形ABCD是矩形，
，
，
在中，，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据矩形的性质得出，，，，，再解直角三角形求出即可．
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
连接OB，作于D，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得，根据等腰三角形的性质，可得，，根据锐角三角函数可得圆的半径．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角函数的定义，正确作出辅助线是关键．
【解答】
解：如图：连接OB，作于D

，
，
又，，
，



故选：A．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解答】
解：过点A作，垂足为D，如图所示．

在中，，
；
在中，，，
，
．
故选：D．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．作地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
【解答】
解：作地面于点C，
设米，
传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，
米，
由勾股定理得，，即，
解得，，即米，
故选：C．  

5.【答案】D
 

【解析】解：，，，
，
故选D．
利用的余弦值解答即可．
考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：如图，连接AD．

是直径，
，
，，
，
，，
，
，
故选：A．
连接AD，根据勾股定理求出AD的长度，再证明，最后利用锐角三角函数值求出的值．
本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：，，，
，，
，，
；
故选：D．
根据勾股定理求出的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出，是等腰直角三角形，，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出是解此题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
，
故选：B．
连接格点MN、DM，可得，由平行线的性质得出，证出，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及菱形的面积，根据题意求出DE的高是解题关键根据，可求出DE的长，进而求出面积即可．

【解答】

解：菱形ABCD的边长为10cm，

．
，
．
，
，
面积
故选B．

10.【答案】D
 

【解析】解：在中，，
，，，
，，；
故选：D．
由三角函数定义得出，，，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形以及三角函数定义；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查的是特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解答关键．
根据特殊角的三角函数值进行解答．
【解答】
解：为锐角，且，
．
故选：A．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求和的值，进而可求出的值．
【解答】
解：小正方形面积为49，大正方形面积为169，

小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在中，，
即，
整理得，，
解得，舍去，
，
，，
，
故选：D．  

13.【答案】
 

【解析】解：旗杆高，旗杆影子长，
，
故答案为：
根据直角三角形的性质解答即可．
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是的直径，BC与相切于点B，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】10
 

【解析】解：在BC上取点F，使，过点F作于H，
，，，
四边形BEHF为矩形，
，，
斜坡AB的坡比为12：5，
，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，，
，
在中，，
，
，
坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
在BC上取点F，使，作，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接DF，OD，

是的直径，
，
，，
，
平分交AB于点D，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
的半径为2，
劣弧的长，
故答案为
连接DF，OD，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据三角函数的定义得到，根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
 

17.【答案】解：设，则，，，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
 

【解析】依题意设，则，，，，先证明是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．
 

18.【答案】解：原式，
，
原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】本题涉及负指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点的运算．
 

20.【答案】解：由题意可知：，
原式，
，
，
当时，原式．
 

【解析】根据锐角三角函数的值以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：连接OC，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
是的切线．
连接BC，
，
，
是的直径，
，
，
设，，
，
的半径为，
，
，
．
 

【解析】连接OC，可证明，由于，，所以，，根据切线的判定即可求出答案．
连接BC，由于，所以，设，，所以，列出方程即可求出x的值．
本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：在中，
，
，
当时，；
当时，；
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在之间，
故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．
 

【解析】分别求出当时和当时梯子底端与墙面的距离AC的长度，再进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键．