2022届一轮复习专题练习67 带电粒子在直线边界磁场中的运动（解析版）

微专题67　带电粒子在直线边界磁场中的运动

1．一般步骤：画轨迹，定圆心，求半径或圆心角.2.在直线边界，粒子进出磁场具有对称性，同一直线边界，出射角等于入射角.3.平行边界存在临界条件：与边界相切是过不过边界的临界条件．

1.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图1所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是(　　)

图1

A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长

B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大

C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合

D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同

答案　BC

解析　T＝，不变，由t＝T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r＝知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，结合运动轨迹图像可知，电子运动时间越长，轨迹线不一定越长，故A错误，B正确．由周期公式T＝知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误．

2.(2020·湖北荆门市1月调考)如图2所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是(　　)

图2

A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大

C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远

答案　C

解析　粒子运动周期T＝，当θ一定时，粒子在磁场中运动时间：t＝T＝T，ω＝，由于t、ω均与v无关，故A、B错误，C正确；当v一定时，由r＝知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．

3．(多选)A、B两个离子同时从匀强磁场的直边界上的P、Q点分别以60°和30°(与边界的夹角)射入磁场，又同时分别从Q、P点穿出，如图3所示．设边界上方的磁场范围足够大，下列说法中正确的是(　　)

图3

A．A为正离子，B为负离子

B．A、B两离子运动半径之比为1∶

C．A、B两离子速率之比为1∶

D．A、B两离子的比荷之比为2∶1

答案　BD

解析　A向右偏转，根据左手定则知，A为负离子，B向左偏转，根据左手定则知，B为正离子，A项错误；离子在磁场中做圆周运动，设PQ的距离为l，由几何关系可得r＝，sin 60°∶sin 30°＝∶1，则A、B两离子运动半径之比为1∶，B项正确；离子的速率v＝，时间相同，半径之比为1∶，圆心角之比为2∶1，则速率之比为2∶，C项错误；根据r＝知，＝，因为速度大小之比为2∶，半径之比为1∶，则比荷之比为2∶1，D项正确．

4．(2020·河北九校联考)如图4所示，直线OM上方存在着垂直纸面方向的匀强磁场(未画出)，一电子从O点垂直OM射入磁场，经过时间t0从O点右侧某位置射出磁场．现使电子从O点向左上方射入磁场，速度方向与OM成150°角，则(　　)

图4

A．磁场方向垂直纸面向里，电子在磁场中经历的时间为t0

B．磁场方向垂直纸面向外，电子在磁场中经历的时间为t0

C．磁场方向垂直纸面向里，电子在磁场中经历的时间为t0

D．磁场方向垂直纸面向外，电子在磁场中经历的时间为t0

答案　A

解析　电子垂直OM进入磁场后，经半个周期从O点右侧离开磁场，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，由周期公式可知，t0＝＝.当电子向左上方垂直射入磁场时，由几何关系可知电子在磁场中运动的轨迹圆弧所对的圆心角为θ＝π，故其在磁场中的运动时间t＝T＝＝t0，A正确，B、C、D错误．

5．(2020·贵州贵阳市四校联考)在如图5所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　)

图5

A.  B．2  C.  D．4

答案　C

解析　设带电粒子在B1中运动的半径为R1，在B2中运动的半径为R2，根据条件作出粒子的运动轨迹如图所示

由图中几何关系可知R1＝2R2，根据qvB＝m可得＝＝，故C正确，A、B、D错误．

6.(2020·贵州贵阳市模拟)如图6所示，aefc和befd是垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的边界，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度分别为B1、B2，且B2＝2B1，一质量为m、电荷量为q的带电粒子垂直边界ae从P点射入磁场Ⅰ，后经f点进入磁场Ⅱ，并最终从fc边界射出磁场区域．不计粒子重力，该带电粒子在磁场中运动的总时间为(　　)

图6

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　粒子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，故有qvB＝m，则有R＝.粒子垂直边界ae从P点射入磁场Ⅰ，后经f点进入磁场Ⅱ，故根据几何关系可得：粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为磁场宽度d；根据轨道半径表达式，由两磁场区域磁感应强度大小关系可得：粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为磁场宽度，那么，根据几何关系可得：粒子从P到f转过的中心角为90°，粒子在f点沿fd方向进入磁场Ⅱ；然后粒子在磁场Ⅱ中转过180°，在e点沿ea方向进入磁场Ⅰ；最后，粒子在磁场Ⅰ中转过90°后从fc边界射出磁场区域；故粒子在两个磁场区域分别转过180°，根据周期T＝＝可得：该带电粒子在磁场中运动的总时间为t＝T1＋T2＝.

7.(2020·陕西宝鸡中学第三次模拟)如图7所示，等腰直角三角形OPQ，直角边OP、OQ长度均为L，直角三角形平面内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在PQ边下方放置一带电粒子发射装置，它由P向Q缓慢移动的同时沿垂直PQ边发射出速率都是v的相同正粒子，已知带电粒子的比荷为＝，粒子的重力、粒子之间的相互作用力不计．则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

图7

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　根据qvB＝代入数据，可知带电粒子在磁场中运动的轨道半径R＝，根据左手定则可知，粒子恰好与PO边相切时运动时间最长，如图所示．

根据对称性可知，运动轨迹也恰好与OQ相切，恰好运动了半个圆周，因此运动的最长时间为t＝＝，D正确，A、B、C错误．

8．(多选)(2020·湘赣十四校联考)如图8所示，在矩形区域ABCD内有一垂直纸面向里的匀强磁场，AB＝5 cm，AD＝10 cm，磁感应强度B＝0.2 T．在AD的中点P有一个发射正离子的装置，能够连续不断地向纸面内的各个方向均匀地发射出速率为v＝1.0×105 m/s的正离子，离子的质量m＝2.0×10－12 kg，电荷量q＝1.0×10－5 C，离子的重力不计，不考虑离子之间的相互作用，则(　　)

图8

A．从边界BC边飞出的离子中，BC中点飞出的离子在磁场中运动的时间最短

B．边界AP段无离子飞出

C．从CD、BC边飞出的离子数之比为1∶2

D．若离子可从B、C两点飞出，则从B点和C点飞出的离子在磁场中运动的时间相等

答案　ACD

解析　由于离子的速率一定，所以离子运动的半径确定，在离子转过的圆心角小于π的情况下，弦长越短，圆心角越小，时间越短，弦长相等，时间相等，所以从BC中点飞出的离子对应的弦长最短，所用时间最短，离子从B、C两点飞出对应的弦长相等，所以运动时间相等，故A、D正确；由洛伦兹力方向可知，离子逆时针方向旋转，发射方向与PA方向夹角较小的离子会从AP段飞出，故B错误；由公式R＝得：R＝0.1 m，通过图可知，α∶β＝1∶2，所以从CD、BC边飞出的离子数之比为1∶2，故C正确．

9.(2020·山东泰安市一模)如图9所示，在屏MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，P为屏上的一个小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为(　　)

图9

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得粒子的轨迹半径r＝.

粒子沿着右侧边界射入，轨迹如图甲，此时出射点最近，和边界交点与P间距为2rcos θ；粒子沿着左侧边界射入，轨迹如图丙，此时出射点最近，和边界交点与P间距为2rcos θ；粒子垂直边界MN射入，轨迹如图乙，此时出射点最远，和边界交点与P间距为2r；故屏MN上被粒子打中的区域的长度为2r－2rcos θ＝2r(1－cos θ)＝.

10.(2020·四川泸州市高三下学期三诊)如图10所示，一足够长的平行边界PQ的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场宽度为d.一质量为m，电荷量为q的带负电粒子，以一定的速度与边界P成60°角垂直磁场方向射入匀强磁场，从另一边界Q与边界线成30°角射出磁场，不计粒子重力．求：

图10

(1)粒子做匀速圆周运动的速度大小；

(2)粒子在磁场中运动的时间．

答案　(1)　(2)

解析　(1)由几何关系得Rsin 30°＋Rsin 60°＝d

解得R＝(－1)d

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m

解得v＝.

(2)带电粒子在磁场中运动qvB＝m，T＝

联立以上两式得T＝

由几何关系得，带电粒子在磁场中转过的角度为90°，则t＝×＝.

11．(2020·江西赣州市期末)如图11所示，在矩形区域abcO内存在一个垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为L，ab边长为L.现从O点沿着Ob方向垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子的质量为m、带电荷量为q(粒子所受重力及粒子间相互作用忽略不计)，求：

图11

(1)垂直ab边射出磁场的粒子的速率v；

(2)粒子在磁场中运动的最长时间tm.

答案　(1)　(2)

解析　(1)粒子垂直ab边射出磁场时的运动轨迹如图，

设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系可知：

tan θ＝＝，

则θ＝，sin θ＝＝，

故R＝2L.

粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m

解得v＝

(2)由做匀速圆周运动可知T＝＝

因此粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，和速度无关，由几何关系可知最大圆心角α＝2θ＝

可知粒子在磁场中运动的最长时间tm＝T＝.

12.(2020·湖南赢在高考模拟)如图12所示，直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其中θ＝37°，一质量为m、带电荷量为q的正粒子(不计重力)以不同速度垂直射入ac边界匀强磁场区域内，入射点O到a点的距离为d，ab边长为2d.试求：

图12

(1)要使粒子能从bc边射出磁场，求v的取值范围．

(2)从bc边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围．

答案　(1)<v≤　(2)≤t<

解析　由几何关系可知：

ac＝abcos 37°＝1.6d，bc＝absin 37°＝1.2d

要使粒子从bc边射出磁场，其最小半径：

R≥＝0.3d

又：qvB＝m

得：v>＝.

运动时间：t1＝T＝×＝；

从bc边射出磁场，轨道半径最大时，其轨道与ab相切(如图)，

由几何知识可得：粒子与ab相切的点应在b点，根据几何关系，其最大的半径R2：

sin 37°＝，得：R2＝

又：qvB＝m

得：v≤＝

对应的运动时间：

t1＝T＝×＝

v的取值范围：<v≤

运动时间：≤t<.