高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.2 直线与平面平行第2课时教案

11.3.2 直线与平面平行（2）

本节课是人教B版必修4《立体几何初步》第三大节第2小节，直线与平面平行的第2课时，上一课时学习了直线与平面平行的判定定理、性质定理以及两个定理的简单应用。本课时进一步落实两个定理在立体几何中的综合应用，解决线面平行、线线平行的证明、立体几何中的动点问题、空间几何体的截面问题，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力，逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学校，在自主合作，交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心。提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理和性质定理综合应用、立体几何中的动点问题、空间几何体的截面问题

【教学难点】

空间问题和平面问题的相互转化

复习回顾：

一. 直线与平面平行的判定定理

1．文字叙述：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．

2．符号表示：如果l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.

3．图形表示：

注：根据上述定理，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行.

4．作用：证明直线与平面平行.

二. 直线与平面平行的性质定理

1．文字叙述：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行.

2．符号表示：如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m.

3．图形表示：

4．作用：证明两直线平行.

【知识点检测】

1.能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A.a⊄α，b⊂α，a∥b               B.b⊂α，a∥b

C.b⊂α，c⊂α，a∥c             D.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，且AC＝BD

解析　由直线与平面平行的判定定理知A正确.

答案　A

2.下列说法正确的是(　　)

A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B.若直线a在平面α外，则a∥α

C.若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α

D.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

解析　A错误，直线l可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a可以与平面α相交.

答案　D

3.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　)

A.只有一条，不在平面α内

B.只有一条，在平面α内

C.有两条，不一定都在平面α内 

D.有无数条，不一定都在平面α内

解析　如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的.

答案　B

4.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

解析　由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ，故选A.

答案　A

题型一　直线与平面平行的判定

例1.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

证明　法一　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，如图，则PM∥QN，

∴＝，＝.

又∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.

又AB＝CD，∴PM＝QN.

∴四边形PMNQ是平行四边形.∴PQ∥MN.

又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

法二　连接AQ，并延长交直线BC于R，连接ER，如图.

∵AD∥BR，∴＝.

又DQ＝AP，DB＝AE，

∴＝，∴PQ∥ER.

又PQ⊄平面CBE，ER⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

【变式练习】

如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点.

求证：AF∥平面PCE.

证明　如图，取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝CD.

又∵AE∥CD且AE＝CD，

∴FM//AE，即四边形AFME是平行四边形.

∴AF∥ME，

又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，

∴AF∥平面PCE.

题型2：直线与平面平行的性质应用

例2.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.

(1)l与BC是否平行？说明理由；

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

解　(1)平行，理由如下：

因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，

AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.

又平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，

所以BC∥l.

(2)平行.证明如下：如图所示，

取PD的中点E，连接AE，NE，

可以证得NE∥AM且NE＝AM.

所以四边形AMNE是平行四边形，

所以MN∥AE.

又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

所以MN∥平面PAD.

【变式训练】

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.

解　直线l∥平面PAC，证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

而EF⊂平面BEF，

且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，

所以l∥平面PAC.

题型3：线面平行中的运动变化问题

例3. 如图，把边长为4的正沿中位线折起使点到的位置.在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置，若不存在，说明理由；

解答：取的中点，的中点，连接，，，则是的中位线，∴，同理，∴.

∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，

∴平面，∴上存在中点使平面.

【变式练习】

如图所示，四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面平面，，．

在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解答：当时，平面，

证明：连结，在上取，在上取，连接．

则，且．

则，故四边形为平行四边形．

故，平面，平面．

故平面．

题型4：线面平行关系在截面问题中的应用

例4. 如图，在正方体中，，平面经过，直线，则平面截该正方体所得截面的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示，连接与交于，取的中点，连接，则，平面平面平面，是满足条件的截面，由正方体的性质可得，平面截该正方体所得截面的面积为，

故选D.

【变式练习】

在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设 的中点为 ，则 ，连接 ，则梯形 就是过，，正方体的截面，其面积为 ，故选C.

小结：

1. 线面平行的判定与性质定理；

2. 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：

线线平行线面平行线线平行.