人教B版 (2019)必修 第四册10.1.1 复数的概念教案设计

本节课要学的内容包括 数系的扩充和复数的概念，复数的分类，复数相等等，其核心内容是复数的概念，复数的分类，复数相等，理解它关键是通过理解有些方程在实数范围内没有解，学生已经学过实数系里的相关知识，本节课的内容数系的扩充和复数的概念就是在其基础上的发展。复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数的实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。教学重点是复数的概念，复数的代数形式。解决重点的关键是掌握复数的实部和虚部。     

在问题的情景中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算法则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

【教学重点】

1、   理解数系的扩充的必要性，明白复数及其相关概念。

2、   掌握复数的几种类型。

【教学难点】

复数的分类及相关概念的辨析

引入：为什么要对实数系进行扩充？

师生活动：

1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们是如何发展得来的？

自然数→整数→有理数→无理数→实数。                     

例如：方程x2-2=0在有理数集中没有解，所以我们引入了无理数。则它在无理数集中就有解了。

2.数学故事——关于无理数的发现

    古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.

3、判断下列方程在实数集中的解的个数？

（1）   （2）  （3）

设计意图：引导学生回顾根的个数与的关系.由（3）引入新课。                

问题1：怎样才能使方程有解呢？

一般地，为了使方程有解，人们规定的平方等于-1，即，并称为虚数单位.

设计意图：让学生仿照上边的例如，想到我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决

问题2：引入一个新数i后，你能得到方程的解吗？

方程至少就有一个解x=i.

设计意图：让学生掌握什么是方程的解。

师生活动：

1、两个实数可以进行加法和乘法运算，那么新数i与实数能进行相应的运算吗？

设计意图：让学生明白复数也可以进行加法和乘法运算。

2、把实数a与实数b和i相乘的结果相加可以记作什么呢？

设计意图：让学生会表示实数a与实数b和i相乘的结果相加。

问题3：什么叫做复数？

一般地，当 都是实数时，称为复数，复数一般用小写字母表示，即

这一表示形式叫做复数的代数形式。其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，分别记作：

设计意图：让学生掌握复数的有关概念。

例1.下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

解：均为复数，

其中：实部为2，虚部为3；

实部为8，虚部为-4；

实部为8，虚部为3；

实部为-2，虚部为-9；

实部为0，虚部为7.

设计意图：让学生对复数概念加以熟悉

问题4：什么叫做复数集？

我们把全体复数所构成的集合叫做复数集。记作.

设计意图：让学生清楚复数集。

问题5：根据实数a和b的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？

当且仅当b=0时，Z=a+bi表示实数；

当b≠0时，Z=a+bi叫做虚数；

特别的，当a=0且b≠0时，Z=a+bi叫做纯虚数。即：

设计意图：让学生掌握复数的分类。

例2.实数x取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？

设计意图：加强对复数分类的掌握

问题6：什么叫做两个复数相等？

两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别对应相等。

即：（a,b,c,d∈R）

特别的，a+bi=0a=0,b=0.

注意：两个复数只有是实数时才能比较大小，若不是就不能比较大小。

设计意图：掌握复数相等的充要条件。

例3.（1）已知 ；

解：由两个复数相等的充要条件得：

（2）已知，

解：根据复数等于0的条件得：

巩固提升：

例4. 若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．

解　由题意得

∴

解得m＝4.

例5.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．

解：设x＝a为方程的一个实数根．

则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0

即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0

∵a，m∈R，由复数相等的充要条件，

得

解得

故实数m的值为.

例6．已知z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，若z1＝z2，试求θ的值．

解　∵z1＝z2，∴

∴解得θ＝2kπ＋(k∈Z)．

小结

1.虚数单位i的引入；

2.复数有关概念：

复数的实部 、虚部

3.复数的分类：虚数、纯虚数

复数相等：