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初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.4 解直接三角形的应用学案
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这是一份初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.4 解直接三角形的应用学案，共7页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学时安排，第一学时，学习过程，第二学时，第三学时等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
2．逐步培养分析问题。解决问题的能力。
3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养用数学的意识。
【学习重难点】
1．善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。
2．根据实际问题构造合适的直角三角形。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、预习导学
在Rt∆ABC中，∠C=900
1．若∠A=600，b=，求A。
2．若∠B=350，c=8，用计算器求a的值（结果精确到0.1）
二、探究展示
（一）合作探究
某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）。你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
先把图4-15抽象，并构造出直角三角形。
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A作AC⊥BD即可以构造出直角三角形。
在Rt∆ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A、B的相对高度AC即可。
如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A、B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）。
因为BD= ，AE= ，AC⊥BD，BAC=400，
所以BC=
在Rt∆ABC中，tan∠BAC=
AC=
（二）展示提升
1．在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为250，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）。
某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所成的夹角∠ABN。∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）。
三、知识梳理
求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求。
解直角三角形的应用题一般步骤：
（1） 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
四、当堂检测
1．一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC。
2．有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.。
求坡高CD（结果精确到0.1m）；
求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）。
【第二学时】
【学习过程】
一、预习导学
自主预习教材P127-P128完成下列知识点。
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式。
图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 。
即i= 。坡度越大，山坡越陡。
二、探究展示
（一）合作探究
山坡的坡度为i=1:2．小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m）
解：由题意可得tanA= ，因此∠A≈26.570
在Rt∆ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m，
所以sinA=
所以BC= （m）
答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约107.3m。
（二）展示提升
如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长。
2．如图所示，某水库大坝横断是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1:3．求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）。
三、知识梳理
坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数。从而也能求得山坡的高度或水平长度。
四、当堂检测
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1:2改为1:2.5．已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积。
【第三学时】
【学习过程】
一、预习导学
自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养自主学习的良好习惯和能力）。
1．直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
2．在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
3．用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
二、探究展示
（一）合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东300方向上。已知在灯塔C的四周30km内有暗礁。问这艘船继续向东航行是否安全？
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=。
在Rt∆ACD中，因为tan∠CAD= ，
所以AD=
同理，在Rt∆BCD中，BD= ，
因为AB=AD-BD
所以
解得=
又因为 30，所以
（二）展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km。求A、B两船的距离（结果精确到0.1km）。
三、当堂检测
如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB、∠EAC分别为600和300.求BD、BC的长（结果精确到0.01m）
【学习目标】
1．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
2．逐步培养分析问题。解决问题的能力。
3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养用数学的意识。
【学习重难点】
1．善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。
2．根据实际问题构造合适的直角三角形。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、预习导学
在Rt∆ABC中，∠C=900
1．若∠A=600，b=，求A。
2．若∠B=350，c=8，用计算器求a的值（结果精确到0.1）
二、探究展示
（一）合作探究
某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）。你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
先把图4-15抽象，并构造出直角三角形。
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A作AC⊥BD即可以构造出直角三角形。
在Rt∆ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A、B的相对高度AC即可。
如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A、B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）。
因为BD= ，AE= ，AC⊥BD，BAC=400，
所以BC=
在Rt∆ABC中，tan∠BAC=
AC=
（二）展示提升
1．在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为250，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）。
某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所成的夹角∠ABN。∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）。
三、知识梳理
求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求。
解直角三角形的应用题一般步骤：
（1） 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
四、当堂检测
1．一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC。
2．有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.。
求坡高CD（结果精确到0.1m）；
求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）。
【第二学时】
【学习过程】
一、预习导学
自主预习教材P127-P128完成下列知识点。
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式。
图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 。
即i= 。坡度越大，山坡越陡。
二、探究展示
（一）合作探究
山坡的坡度为i=1:2．小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m）
解：由题意可得tanA= ，因此∠A≈26.570
在Rt∆ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m，
所以sinA=
所以BC= （m）
答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约107.3m。
（二）展示提升
如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长。
2．如图所示，某水库大坝横断是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1:3．求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）。
三、知识梳理
坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数。从而也能求得山坡的高度或水平长度。
四、当堂检测
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1:2改为1:2.5．已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积。
【第三学时】
【学习过程】
一、预习导学
自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养自主学习的良好习惯和能力）。
1．直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
2．在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
3．用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
二、探究展示
（一）合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东300方向上。已知在灯塔C的四周30km内有暗礁。问这艘船继续向东航行是否安全？
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=。
在Rt∆ACD中，因为tan∠CAD= ，
所以AD=
同理，在Rt∆BCD中，BD= ，
因为AB=AD-BD
所以
解得=
又因为 30，所以
（二）展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km。求A、B两船的距离（结果精确到0.1km）。
三、当堂检测
如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB、∠EAC分别为600和300.求BD、BC的长（结果精确到0.01m）
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