还剩12页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时学案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时学案，共15页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥αB．l∥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2)))D．(0，－1,1)
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D．以上都不对
4．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中eq \(BA,\s\up6(→))＝(1，m,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝____．
5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝eq \f(1,2)BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为eq \x\t(CE)的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
A组·素养自测
一、选择题
1．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )
A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4)D．(2,4,4)
2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)
3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
4．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( )
A．(－12，－3,0)B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)D．(－5，－1,1)
5．(多选题)在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( )
A．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0B．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0
C．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0D．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0
二、填空题
6．同时垂直于a＝(2,2,1)、b＝(4,5,3)的单位向量是
__或__．
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是____．
8．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为___．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC⊥平面BEF．
10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．0B．1
C．2D．3
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A．eq \f(33,7)，－eq \f(15,7)，4B．eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4
C．eq \f(40,7)，－2,4D．4，eq \f(40,7)，－15
3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)、eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)、eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．则( )
A．AP⊥ABB．AP⊥AD
C．eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D．eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))
4．(多选题)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( )
A．－1B．3
C．－3D．1
二、填空题
5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为____．(写出一个方向向量的坐标)
6．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是____．
7．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 ____．
三、解答题
8．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( B )
A．l⊥αB．l∥α
C．l⊂αD．l与α斜交
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α．
2．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( D )
A．(1，－4,2)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2)))D．(0，－1,1)
[解析] 因为eq \(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·\(PM,\s\up6(→))＝0，))把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( B )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D．以上都不对
[解析] 以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))分别为x，y，z建立空间直角坐标系，求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2．因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，故平面AED⊥平面A1FD1．
4．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中eq \(BA,\s\up6(→))＝(1，m,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝__－1__．
[解析] 由题意得eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋m2＋2n＝0，,1＋m2＋4＝4＋m2＋n2，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0，,n＝－1，))所以m＋n＝－1．
5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝eq \f(1,2)BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为eq \x\t(CE)的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
[解析] (1)∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，
∴AB⊥平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系Bxyz，如图所示：
设AB＝AD＝1，则D(0,1,1)，F(1,0,1)，B(0,0,0)，M(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \r(2)－eq \r(2)＋0＝0，
∴BM⊥DF．
(2)E(2,0,0)，故eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，
∴cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(EF,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(EF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\r(2),2×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
设异面直线BM与EF所成角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉|＝eq \f(1,2)，
故θ＝eq \f(π,3)．
A组·素养自测
一、选择题
1．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( C )
A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4)D．(2,4,4)
[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，
∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．
2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( A )
A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)
[解析] 选项A：∵P(2,3,3)，∴eq \(MP,\s\up6(→))＝(1,4,1)，则n·eq \(MP,\s\up6(→))＝6－12＋6＝0，∴eq \(MP,\s\up6(→))⊥n，∴P(2,3,3)在α内，故A正确，同理B，C，D不正确．
3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( A )
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
[解析] 平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，∴n＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，∴n∥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．
4．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( AD )
A．(－12，－3,0)B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)D．(－5，－1,1)
[解析] 设P(x，y，z)，由CP⊥平面OAB，可得CP⊥OA，CP⊥OB，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(CP,\s\up6(→))·\(OA,\s\up6(→))＝0，,\(CP,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＋3z－6＝0，,－2y＋4z－6＝0，))
将四个选项代入检验可得正确选项
将(－12，－3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；
将(7,2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；
将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；
将(－5，－1,1)代入不满足方程组，所以D不正确．故选AD．
5．(多选题)在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( ABD )
A．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0B．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0
C．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0D．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．
又AC⊥BD，AC∩PA＝A，
∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD．
故ABD成立．
二、填空题
6．同时垂直于a＝(2,2,1)、b＝(4,5,3)的单位向量是
__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))__．
[解析] 设所求向量为c＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，,x2＋y2＋z2＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2,3)，,z＝\f(2,3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，,z＝－\f(2,3).))
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是__垂直__．
[解析] a·b＝0，所以α⊥β．
8．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为__(－1,0,2)__．
[解析] 由题意得eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1，－z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,0,1)，由eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝x－1＋z＝0，由eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2x－z＝0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,z＝2.))故点P的坐标为(－1,0,2)．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC⊥平面BEF．
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2eq \r(2)，
四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2，2eq \r(2)，0)、D(0,2eq \r(2)，0)、P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，eq \r(2)，0)、F(1，eq \r(2)，1)．
∴eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(2)，－2)、eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(2)，1)、eq \(EF,\s\up6(→))＝(1,0,1)，
∴eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝－2＋4－2＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝2＋0－2＝0，
∴eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，∴PC⊥BF，PC⊥EF．
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．
10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(eq \r(3)，1,0)，B(0，2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，－2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．
分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(EA,\s\up6(→))＝0，,n1·\(CE,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x1＋y1－2z1＝0，,2z1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝－\r(3)x1，,z1＝0，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EA,\s\up6(→))＝0，,n2·\(ED,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x2＋y2－2z2＝0，,2y2－z2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\r(3)y2，,z2＝2y2.))
不妨设n1＝(1，－eq \r(3)，0)，n2＝(eq \r(3)，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2．所以平面DEA⊥平面ECA．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( A )
A．0B．1
C．2D．3
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC＝DB＝a，DA＝b，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(－a，a,0)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，－b))，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(a2,2)＋eq \f(a2,2)＋0＝0．
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( B )
A．eq \f(33,7)，－eq \f(15,7)，4B．eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4
C．eq \f(40,7)，－2,4D．4，eq \f(40,7)，－15
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴eq \(BP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－1＋y－12＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7).))
3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)、eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)、eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．则( ABC )
A．AP⊥ABB．AP⊥AD
C．eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D．eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))．
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，
∵eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))∩eq \(AD,\s\up6(→))＝A，
∴eq \(AP,\s\up6(→))⊥平面ABCD，故eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量．
eq \(BD,\s\up6(→))＝Aeq \(D,\s\up6(→))－Aeq \(B,\s\up6(→))＝(2,3,4)，显然Beq \(D,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))．
4．(多选题)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( CD )
A．－1B．3
C．－3D．1
[解析] 由题意知|a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝6，解得x＝±4，
由a·b＝4＋4y＋2x＝0得，x＝－2y－2．
当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1．
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3．
综上，x＋y＝－3或1．
二、填空题
5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－2))__．(写出一个方向向量的坐标)
[解析] 设直线l的一个方向向量为a＝(x，y，z)，由两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，可得a·n1＝2x＋y＋z＝0，a·n2＝2y＋z＝0，可得z＝－2y，x＝eq \f(1,2)y，可设y＝1，则x＝eq \f(1,2)，z＝－2，
可得a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－2))．
6．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是__垂直__．
[解析] 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则n·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，n·eq \(CP,\s\up6(→))＝0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝0，,－y＋z＝0，))
取y＝1，则z＝1，x＝0，∴n＝(0,1,1)．
∵eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)n，∴eq \(EF,\s\up6(→))∥n，∴EF⊥面PBC．
7．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 __2__．
[解析] 以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，
设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1，x，－z)，eq \(QD,\s\up6(→))＝(－1，a－x,0)．
由eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(QD,\s\up6(→))＝0，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0．
当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，点Q只有一个．
三、解答题
8．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
[证明] 如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．
(1)∵eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)、eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)，
∴eq \(BC1,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0－4＋4＝0，∴eq \(BC1,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，∴BC1⊥AB1．
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,1,1)，又eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC1,\s\up6(→))，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1．又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
[解析] 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PA⊥底面ABCD．
∠BAD＝90°，
所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)证明：eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
可得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．
(2)设侧棱PA的中点是E，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CD,\s\up6(→))＝0，,n·\(PD,\s\up6(→))＝0，))
因为eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,2y－z＝0，))
取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·eq \(BE,\s\up6(→))＝(1,1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，所以n⊥eq \(BE,\s\up6(→))．
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当点E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥αB．l∥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2)))D．(0，－1,1)
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D．以上都不对
4．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中eq \(BA,\s\up6(→))＝(1，m,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝____．
5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝eq \f(1,2)BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为eq \x\t(CE)的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
A组·素养自测
一、选择题
1．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )
A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4)D．(2,4,4)
2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)
3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
4．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( )
A．(－12，－3,0)B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)D．(－5，－1,1)
5．(多选题)在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( )
A．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0B．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0
C．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0D．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0
二、填空题
6．同时垂直于a＝(2,2,1)、b＝(4,5,3)的单位向量是
__或__．
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是____．
8．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为___．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC⊥平面BEF．
10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．0B．1
C．2D．3
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A．eq \f(33,7)，－eq \f(15,7)，4B．eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4
C．eq \f(40,7)，－2,4D．4，eq \f(40,7)，－15
3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)、eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)、eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．则( )
A．AP⊥ABB．AP⊥AD
C．eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D．eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))
4．(多选题)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( )
A．－1B．3
C．－3D．1
二、填空题
5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为____．(写出一个方向向量的坐标)
6．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是____．
7．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 ____．
三、解答题
8．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( B )
A．l⊥αB．l∥α
C．l⊂αD．l与α斜交
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α．
2．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( D )
A．(1，－4,2)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2)))D．(0，－1,1)
[解析] 因为eq \(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·\(PM,\s\up6(→))＝0，))把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则( B )
A．平面AED∥平面A1FD1
B．平面AED⊥平面A1FD1
C．平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D．以上都不对
[解析] 以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))分别为x，y，z建立空间直角坐标系，求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2．因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，故平面AED⊥平面A1FD1．
4．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中eq \(BA,\s\up6(→))＝(1，m,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝__－1__．
[解析] 由题意得eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋m2＋2n＝0，,1＋m2＋4＝4＋m2＋n2，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0，,n＝－1，))所以m＋n＝－1．
5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝eq \f(1,2)BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为eq \x\t(CE)的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
[解析] (1)∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，
∴AB⊥平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系Bxyz，如图所示：
设AB＝AD＝1，则D(0,1,1)，F(1,0,1)，B(0,0,0)，M(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \r(2)－eq \r(2)＋0＝0，
∴BM⊥DF．
(2)E(2,0,0)，故eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，
∴cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(EF,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(EF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\r(2),2×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
设异面直线BM与EF所成角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉|＝eq \f(1,2)，
故θ＝eq \f(π,3)．
A组·素养自测
一、选择题
1．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( C )
A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4)D．(2,4,4)
[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，
∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．
2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( A )
A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)
[解析] 选项A：∵P(2,3,3)，∴eq \(MP,\s\up6(→))＝(1,4,1)，则n·eq \(MP,\s\up6(→))＝6－12＋6＝0，∴eq \(MP,\s\up6(→))⊥n，∴P(2,3,3)在α内，故A正确，同理B，C，D不正确．
3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( A )
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
[解析] 平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，∴n＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，∴n∥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．
4．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( AD )
A．(－12，－3,0)B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)D．(－5，－1,1)
[解析] 设P(x，y，z)，由CP⊥平面OAB，可得CP⊥OA，CP⊥OB，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(CP,\s\up6(→))·\(OA,\s\up6(→))＝0，,\(CP,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＋3z－6＝0，,－2y＋4z－6＝0，))
将四个选项代入检验可得正确选项
将(－12，－3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；
将(7,2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；
将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；
将(－5，－1,1)代入不满足方程组，所以D不正确．故选AD．
5．(多选题)在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( ABD )
A．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0B．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0
C．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0D．eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．
又AC⊥BD，AC∩PA＝A，
∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD．
故ABD成立．
二、填空题
6．同时垂直于a＝(2,2,1)、b＝(4,5,3)的单位向量是
__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))__．
[解析] 设所求向量为c＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，,x2＋y2＋z2＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2,3)，,z＝\f(2,3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，,z＝－\f(2,3).))
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是__垂直__．
[解析] a·b＝0，所以α⊥β．
8．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为__(－1,0,2)__．
[解析] 由题意得eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1，－z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,0,1)，由eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝x－1＋z＝0，由eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2x－z＝0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,z＝2.))故点P的坐标为(－1,0,2)．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC⊥平面BEF．
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2eq \r(2)，
四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2，2eq \r(2)，0)、D(0,2eq \r(2)，0)、P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，eq \r(2)，0)、F(1，eq \r(2)，1)．
∴eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(2)，－2)、eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(2)，1)、eq \(EF,\s\up6(→))＝(1,0,1)，
∴eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝－2＋4－2＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝2＋0－2＝0，
∴eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，∴PC⊥BF，PC⊥EF．
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．
10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(eq \r(3)，1,0)，B(0，2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，－2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．
分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(EA,\s\up6(→))＝0，,n1·\(CE,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x1＋y1－2z1＝0，,2z1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝－\r(3)x1，,z1＝0，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EA,\s\up6(→))＝0，,n2·\(ED,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x2＋y2－2z2＝0，,2y2－z2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\r(3)y2，,z2＝2y2.))
不妨设n1＝(1，－eq \r(3)，0)，n2＝(eq \r(3)，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2．所以平面DEA⊥平面ECA．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( A )
A．0B．1
C．2D．3
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC＝DB＝a，DA＝b，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(－a，a,0)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，－b))，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(a2,2)＋eq \f(a2,2)＋0＝0．
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( B )
A．eq \f(33,7)，－eq \f(15,7)，4B．eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4
C．eq \f(40,7)，－2,4D．4，eq \f(40,7)，－15
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴eq \(BP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－1＋y－12＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7).))
3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)、eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)、eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．则( ABC )
A．AP⊥ABB．AP⊥AD
C．eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D．eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))．
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，
∵eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))∩eq \(AD,\s\up6(→))＝A，
∴eq \(AP,\s\up6(→))⊥平面ABCD，故eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量．
eq \(BD,\s\up6(→))＝Aeq \(D,\s\up6(→))－Aeq \(B,\s\up6(→))＝(2,3,4)，显然Beq \(D,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))．
4．(多选题)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( CD )
A．－1B．3
C．－3D．1
[解析] 由题意知|a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝6，解得x＝±4，
由a·b＝4＋4y＋2x＝0得，x＝－2y－2．
当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1．
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3．
综上，x＋y＝－3或1．
二、填空题
5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－2))__．(写出一个方向向量的坐标)
[解析] 设直线l的一个方向向量为a＝(x，y，z)，由两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，可得a·n1＝2x＋y＋z＝0，a·n2＝2y＋z＝0，可得z＝－2y，x＝eq \f(1,2)y，可设y＝1，则x＝eq \f(1,2)，z＝－2，
可得a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－2))．
6．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是__垂直__．
[解析] 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则n·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，n·eq \(CP,\s\up6(→))＝0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝0，,－y＋z＝0，))
取y＝1，则z＝1，x＝0，∴n＝(0,1,1)．
∵eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)n，∴eq \(EF,\s\up6(→))∥n，∴EF⊥面PBC．
7．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 __2__．
[解析] 以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，
设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1，x，－z)，eq \(QD,\s\up6(→))＝(－1，a－x,0)．
由eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(QD,\s\up6(→))＝0，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0．
当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，点Q只有一个．
三、解答题
8．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
[证明] 如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．
(1)∵eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)、eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)，
∴eq \(BC1,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0－4＋4＝0，∴eq \(BC1,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，∴BC1⊥AB1．
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,1,1)，又eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC1,\s\up6(→))，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1．又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
[解析] 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PA⊥底面ABCD．
∠BAD＝90°，
所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)证明：eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
可得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．
(2)设侧棱PA的中点是E，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CD,\s\up6(→))＝0，,n·\(PD,\s\up6(→))＝0，))
因为eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,2y－z＝0，))
取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·eq \(BE,\s\up6(→))＝(1,1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，所以n⊥eq \(BE,\s\up6(→))．
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当点E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
相关学案
【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）导学案（有答案）： 这是一份【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）导学案（有答案），共11页。学案主要包含了学习目标，学习过程等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用学案及答案： 这是一份高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用学案及答案，共19页。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案，共13页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
