数学必修 第一册2.2 分层随机抽样精练

2.2　分层随机抽样

1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

2．某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是(　　)

A．抽签法  B．简单随机抽样

C．分层抽样  D．随机数法

3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)

A．30人、30人、30人  B．30人、45人、15人

C．20人、30人、40人  D．30人、50人、10人

4．山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x:y:z＝5:3:2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．

5．某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．

1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区作分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101    B．808

C．1 212  D．2 012

2．某地区高中分三类，A类学校共有学生4 000人，B类学校共有学生2 000人，C类学校共有学生3 000人，现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类学校抽取的试卷份数为(　　)

A．450  B．400

C．300  D．200

3．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)

A．40  B．30

C．20  D．36

4．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查．事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)

A．抽签法抽样  B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样  D．随机数法抽样

5．从某地区15 000位老人中按性别分层随机抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示．

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为(　　)

A．60     B．100

C．1 500  D．2 000

6．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用分层随机抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为(　　)

A.9  B．8

C．6  D．3

7．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．

8．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

9．(易错题)某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________．

10．(探究题)在100件产品中，一等品20件，二等品30件，三等品50件，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程，并说明抽样的公正性和合理性．

1．(多选题)为了保证分层随机抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　)

A．每层的个体数必须一样多

B．每层抽取的个体数不一定相等

C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量

D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数有限制

2．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是________件．

3．(情境命题—生活情境)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

2．2　分层随机抽样

必备知识基础练

1．解析：A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．

答案：B

2．解析：各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．

答案：C

3．解析：根据各校人数比例为3 600:5 400:1 800＝2:3:1，样本量为90，可求出从甲校应抽取30人，从乙校应抽取45人，从丙校应抽取15人．

答案：B

4．解析：方法一　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，

所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.

由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.

方法二　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.

答案：6

5．解析：采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：

第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．

第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故抽样比k＝＝＝.

第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2 400×＝12(人)，在西城区抽取4 600×＝23(人)，在南城区抽取3 800×＝19(人)，在北城区抽取1 200×＝6(人)．

第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．

关键能力综合练

1．解析：由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.

答案：B

2．解析：应采取分层抽样(因为学校间差异大)，抽取的比例为4 000:2 000:3 000，即4:2:3，所以A类学校应抽取900×＝400(份)．

答案：B

3．解析：抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40.

答案：A

4．解析：因为三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以适合按学段分层抽样．

答案：C

5．解析：由分层随机抽样方法知所求人数为×15 000＝60.

答案：A

6．解析：设该单位的中年人的人数为x，则由表可知，＝，解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30×＝6，故选C.

答案：C

7．解析：设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.

答案：18

8．解析：设乙设备生产的产品总数为x件，由已知得：＝，解得x＝1 800.

答案：1 800

9．解析：依题意得，＝，∴＝，解得n＝88，所以样本容量为88.

答案：88

10．解析：第一步：将产品按等级分成三层．第一层，一等品20件；第二层，二等品30件；第三层，三等品50件．

第二步：确定每一层抽取的样品容量．因为203050 ＝235，所以应在第一层中抽取产品6件，在第二层中抽取产品9件，在第三层中抽取产品15件．分别给这100件产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法分层抽取样本，得到一等品6件，二等品9件，三等品15件．这样我们就通过分层抽样的方法得到了一个容量为30的样本．

在100件产品中抽取30件，因此总体中每个个体入样的可能性均为＝，

在第一层中每个个体入样的可能性为＝，

在第二层中每个个体入样的可能性为＝，

在第三层中每个个体入样的可能性为＝.

因此，可以说明每个个体被抽到的可能性是相同的，即抽样方法是合理的、公平的．

学科素养升级练

1．解析：每层的个体数不一定都一样多，故A错误；由于每层的容量不一定相等，若每层抽取同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以每层抽取的个体数不一定相等，故B正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故C正确；每层抽取的个体数是有限的，故D正确．

答案：BCD

2．解析：设C产品的数量为x，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝1 700－x.设C产品的样本量为a，则A产品的样本量为10＋a.由分层随机抽样的定义，可得＝＝，解得x＝800.

答案：800

3．解析：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有

＝47.5%，＝10%.解得b＝50%，c＝10%.

故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.

(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；

抽取的中年人人数为200××50%＝75；

抽取的老年人人数为200××10%＝15.