课时过关检测（九） 指数与指数函数

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1．设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2))) 表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.
3．(2021·济南质检)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0D．0解析：选D 法一：由题图可知0a－b∈(0,1)，故－b>0，得b<0.故选D.
法二：由题图可知00，则b<0.故选D.
4．已知函数f(x)＝eq \f(1,ex＋1)－eq \f(1,2)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在R上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C 易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(1,e－x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(ex,ex＋1)－eq \f(1,2)，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数．函数f(x)＝eq \f(1,ex＋1)－eq \f(1,2)显然是减函数．故选C.
5．(多选)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))6．(多选)关于函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
解析：选ACD 函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A项正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B项不正确，C项正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq \f(1,4x＋1＋2)＋eq \f(1,4－x＋2)＝eq \f(1,4·4x＋2)＋eq \f(4x,2·4x＋1)＝eq \f(1,2)，所以f(x)关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D项正确．故选A、C、D项．
8．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x，且f(－3)>f(－2)，则实数a的取值范围是________．
解析：∵指数函数f(x)＝(2a－1)x，且f(－3)>f(－2)，∴函数f(x)单调递减，∴0<2a－1<1，解得eq \f(1,2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
10．(2021·安徽皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
答案：(1，＋∞) f(－4)＞f(1)
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值是eq \f(9,4)，求a的值．
解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t在R上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是eq \f(9,4)，且eq \f(9,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，
从而a＝2.
12．已知函数f(x)＝eq \f(3x＋a,3x＋1)为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
B级——综合应用
13．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
解析：选D 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))0.1<1，所以M >N.
14．定义：区间[x1，x2](x1A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
解析：选B 如图是函数y＝2|x|值域为[1,2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1,2]的区间长度最小的区间为[－1,0]，[0,1]，区间长度最大的区间为[－1,1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.
15．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|).
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，故f(x)＝eq \f(3,2)无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，
由2x－eq \f(1,2x)＝eq \f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－eq \f(1,2)，
因为2x＞0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，
所以m≥－(22t＋1)，
又y＝－22t－1，t∈[1,2]为减函数，
所以ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.
C级——迁移创新
16．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)＝eq \f(1,4x)＋eq \f(a,2x)＋1.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设y＝f(x)＝eq \f(1,4x)＋eq \f(a,2x)＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1(x<0)，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x<0，
则t>1，y＝t2－t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，
∴y>1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立．
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥0，则t∈(0,1]．
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))≤a≤eq \f(2,t)－t对t∈(0,1]恒成立，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))))max≤a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,t)－t))min.
设h(t)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))，p(t)＝eq \f(2,t)－t，t∈(0,1]，
∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，
∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，
p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5,1]．