高中数学高考课时跟踪检测（九） 指数与指数函数 作业

课时跟踪检测（九）  指数与指数函数

一、基础练——练手感熟练度

1．函数y＝ln(2x－1)的定义域是(　　)

A．[0，＋∞)　　　　　　　 B．[1，＋∞)

C．(0，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：选C　由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞).

2．函数y＝2x－x2的值域为(　　)

A.  B．

C.  D．(0,2]

解析：选A　设t＝2x－x2，则t≤1，所以y＝t，t≤1，所以y∈，故选A.

3．化简4a·b÷的结果为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－6ab

解析：选C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－.

4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)

A．(1,6)  B．(1,5)

C．(0,5)  D．(5,0)

解析：选A　由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．

5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c  B．a＞c＞b

C．c＞a＞b  D．b＞c＞a

解析：选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

二、综合练——练思维敏锐度

1．(2021·衡水模拟)已知ab＝－5，则a ＋b 的值是(　　)

A．2  B．0

C．－2  D．±2

解析：选B　由题意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝0.故选B.

2．已知0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是(　　)

A．ba  B．aa

C．ab  D．bb

解析：选C　∵0<b<a<1，∴y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，

又∵y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.

3．函数y＝的值域为(　　)

A．(0,1)  B．(1，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(0,1)∪(1，＋∞)

解析：选D　由≠0，得y＝≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.

4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)

解析：选C　两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0<a<1时，指数函数递减，<0，C符合题意；当a>1时，指数函数递增，>0，B不符合题意，故选C.

5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．c<a<b  D．c<b<a

解析：选C　函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53 |－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2 log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以c<a<b，故选C.

6．(2021·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有(　　)

A．a＋b≤0  B．a－b≥0

C．a－b≤0  D．a＋b≥0

解析：选D　令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.

7．(多选)已知函数f(x)＝，下面说法正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于原点对称

B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的值域为(－1,1)

D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0

解析：选AC　对于选项A，f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝＝＝     －f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算f(1)＝＝，f(－1)＝＝－≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，则f(x)＝g(t)＝1－，易知1－∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于选项D，易知函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，>0，故D错误．故选A、C.

8．化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝_______.

解析：(2·)(－6·)÷(－3·)＝÷＝4a·b＝4a1·b0＝4a.

答案：4a

9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．

解析：当0<a<1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，故f(x)max＝f(0)＝a0－1＝0，这与已知条件函数f(x)的值域是[0,2]相矛盾．

当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2]，所以解得a＝，所以实数a的值为.

答案：

10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，∴m2－m<2，解得－1<m<2，故m的取值范围是(－1,2)．

答案：(－1,2)

11．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．

解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，

则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．

①当0<a<1，x∈[－1,1]时，t＝ax∈，

此时f(t)在上为增函数．

所以f(t)max＝f＝2－2＝14.

所以2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.

②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，

此时f(t)在上是增函数．

所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，

解得a＝3或a＝－5(舍去)．

综上得a＝或3.

12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，

令t＝2x，因为x∈[－3,0]，所以t∈.

故y＝2t2－t－1＝22－，t∈，

故值域为.

(2)设2x＝m>0，关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，过点(0，－1)，不成立．

当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正．

综上，a的取值范围为(0，＋∞)．

13．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

故k的取值范围为.

三、自选练——练高考区分度

1．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0  B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c  D．2a＋2c<2

解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．

因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，

结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，

所以0<2a<1.

所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

所以f(c)<1，所以0<c<1.

所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又因为f(a)>f(c)，

所以1－2a>2c－1，

所以2a＋2c<2，故选D.

2．(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　)

A．x＝y  B．1<x<y

C．0<x<y<1  D．y<x<0

解析：选ACD　由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9.

故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；

当1<x<y时，f(x)<g(y)，故B不正确；当0<x<y<1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确；当y<x<0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确．故选A、C、D.

3．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如，     [－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]和f(x)的叙述中正确的是(　　)

A．g(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在R上是增函数

D．g(x)的值域是

解析：选BC　根据题意知f(x)＝－＝－，定义域为R.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－<f(x)<，∴g(x)＝[f(x)]的值域是，D错误．故选B、C.