课时过关检测（十二） 函数与方程

课时过关检测（十二）  函数与方程

A级——基础达标

1．下列函数中是奇函数且有零点的是(　　)

A．f(x)＝x＋|x|　　　 B．f(x)＝x－1＋x

C．f(x)＝＋tan x  D．f(x)＝sin

解析：选C　A选项，因为f(x)＝x＋|x|，所以f(－x)＝－x＋|x|，而－f(x)＝－x－|x|，所以f(x)＝x＋|x|不是奇函数，排除A；B选项，因为f(x)＝x－1＋x，所以f(－x)＝－x－1－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，但令f(x)＝0，可知方程无解，即f(x)没有零点，所以排除B；D选项，因为f(x)＝sin＝cos x，所以f(－x)＝cos x＝f(x)，即f(x)为偶函数，排除D；C选项，因为f(x)＝＋tan x，所以f(－x)＝－－tan x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，曲线y＝－与y＝tan x必然有交点，因此函数f(x)＝＋tan x必有零点，故选C.

2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：选B　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，

∴f(1)·f(2)＜0，

∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，

∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．

3．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　∵a＞0，∴a2＋1＞1.

作出y＝|x2－2x|的图象如图，

由图知y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．

4．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a＞0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)

A．mn＝1  B．mn＞1

C．0＜mn＜1  D．以上都不对

解析：选C　由题设可得|logax|＝x，不妨设a＞1，m＜n，画出函数y＝|logax|，y＝x的图象如图所示，结合图象可知0＜m＜1，n＞1，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m＜0，所以0＜mn＜1，故选C.

5．(多选)(2021·青岛模拟)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)

A．2.52  B．2.56

C．2.66  D．2.75

解析：选AB　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.

6．(多选)(2021·济宁模拟)已知函数f(x)＝x－log2x,0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)

A．d＜a  B．d＞b

C．d＞c  D．d＜c

解析：选ABD　由y＝x在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝x－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．

7．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

答案：－

8．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．

解析：当x＞0时，由f(x)＝0，

即xln x＝0得ln x＝0，解得x＝1；

当x≤0时，由f(x)＝0，

即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，

因为x≤0，所以x＝－1.

综上，函数f(x)的零点为1，－1.

答案：1，－1

9．已知方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．　

解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，

则f(x)在R上是增函数．

当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，

即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10；

当f(1)＝0时，k＝5.

综上，k的取值范围为[5,10)．

答案：[5,10)

10．已知函数f(x)＝g(x)＝则函数f(g(x))的所有零点之和是________．

解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－＋1＋＝＋.

答案：＋

11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立且a≠0，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0,1)．

12．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．故m的取值范围为(0,1)．

B级——综合应用

13．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A.   B.

C．－  D．－

解析：选C　因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.

14．(多选)已知函数f(x)＝下列是关于函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数的判断，其中正确的是(　　)

A．当k＞0时，有3个零点

B．当k＜0时，有2个零点

C．当k＞0时，有4个零点

D．当k＜0时，有1个零点

解析：选CD　当k＞0时，f(x)＝的图象如图①，此时f[f(x)]＋1＝0，即f[f(x)]＝－1有f1(x)∈(－∞，0)，f2(x)＝两种情况．又f(x)在(－∞，0)和(0,1)上的值域均有(－∞，0)的部分，所以f1(x)∈(－∞，0)有两根，f2(x)＝也有两根，故f[f(x)]＋1＝0有4个零点．

当k＜0时，f(x)＝的图象如图②，此时f[f(x)]＋1＝0，即f[f(x)]＝－1只有f(x)＝一种情况，此时f(x)＝仅有一个零点．故当k＞0时，函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点；当k＜0时，函数y＝f[f(x)]＋1有1个零点．故选C、D.

15．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则有t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤1，而原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图所示，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

C级——迁移创新

16．定义在D上的函数f(x)，如果存在x∈D，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，则称y＝f(x)存在关于实数a的“线性零点”．如：函数f(x)＝mx(m∈R)存在关于任意实数a的“线性零点”，而函数f(x)＝ln 存在关于－2的“线性零点”．

(1)是否存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”？并说明理由；

(2)求证：对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．

解：(1)不存在．

理由：假设函数f(x)＝3x＋2存在关于非零实数a的“线性零点”，即存在x∈R，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，即3(x＋a)＋2＝3x＋2＋3a＋2⇔2＝4，显然不成立，故不存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”．

(2)证明：当f(x)＝2x＋bx2时，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)⇔2x＋2＋b(x＋2)2＝2x＋bx2＋4＋4b⇔3×2x＋4bx－4＝0，

令g(x)＝3×2x＋4bx－4，

易知g(x)在R上的图象是连续的，

当b≥0时，g(0)＝－1<0，g(1)＝2＋4b>0，故g(x)在(0,1)内至少有一个零点．

当b<0时，g(0)＝－1<0，g＝3×2>0，故g(x)在内至少有一个零点．

故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x＋2)＝f(x)＋f(2)总有解，

所以对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．