课时过关检测（八） 二次函数与幂函数

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1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq \r(3,3))，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C 设f(x)＝xα，将点(3，eq \r(3,3))代入f(x)＝xα，解得α＝eq \f(1,3)，所以f(x)＝xeq \f(1,3)，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
2.(2021·青岛模拟)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1B．－1C．－1D．－1解析：选D 对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴03．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．(2021·山东模拟)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
解析：选B 因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝6.))令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1,0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B.
5．(多选)(2021·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：选ACD 因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．
6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
解析：选ABD 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D.
7．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq \f(1,2)，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．
解析：设f(x)＝xα，则4α＝eq \f(1,2)，所以α＝－eq \f(1,2).
因此f(x)＝x－eq \f(1,2)，从而a－eq \f(1,2)＝4(a＋3)－eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1(a>0)，又其图象过点(0,1)，所以4a－1＝1，所以a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝eq \f(1,2)(x－2)2－1＝eq \f(1,2)x2－2x＋1.
答案：f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋1
9．(2021·山东烟台模拟)若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.
解析：y＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m－1,16)))2＋m－7－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,16)))2，
∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,16)))2＝0，
∴m＝9或m＝25.
答案：9或25
10．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))
解得－eq \f(\r(2),2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
11．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立，
即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－eq \f(5,4)，
因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)，满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或－1.
B级——综合应用
13．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
解析：选BC 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，所以函数 f(|x|)满足－2＜|x|＜3，所以－3＜x＜3.又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，0≤x＜3，,－x2－2x＋1，－3＜x＜0，))且函数y＝－x2－2x＋1的图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选B、C.
14．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋ax－2a，x≥2，,x2－ax＋2a，x<2.))
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)≤2，,\f(a,2)≤0，))∴－4≤a≤0，
∴实数a的取值范围是[－4,0]．
答案：[－4,0]
15．(2021·山西平遥中学第一次月考)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝eq \f(x,fx)的最大值．
解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，
∵x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－3，,x2＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,x2＝－3.))
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，
∴f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝eq \f(x,fx)＝eq \f(x,x2＋4x＋3)＝eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)(x>0)，
∵x>0，∴eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)≤eq \f(1,4＋2\r(3))＝1－eq \f(\r(3),2)，当且仅当x＝eq \f(3,x)，即x＝eq \r(3)时等号成立．
∴g(x)的最大值是1－eq \f(\r(3),2).
C级——迁移创新
16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，
设x0为均值点，所以eq \f(f1－f－1,1－－1)＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1所以实数m的取值范围是(0,2)．
答案：(0,2)