数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，要点讲解，题型讲解等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
【要点讲解】
知识点一 n次方根，n次根式
思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？
答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±eq \r(3).
一般地，有：(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式
式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
思考 我们已经知道若x2＝3，则x＝±eq \r(3)，那么(eq \r(3))2等于什么？eq \r(32)呢？eq \r(－32)呢？
答案 把x＝eq \r(3)代入方程x2＝3，有(eq \r(3))2＝3；
eq \r(32)＝eq \r(9)，eq \r(9)代表9的两个平方根中正的那一个，即3.
eq \r(－32)＝eq \r(9)＝3.
一般地，有：(1)eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa<0))(n为大于1的偶数).
【题型讲解】
类型一 根式的意义
例1 求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
解 eq \r(a－3a2－9)＝eq \r(a－32a＋3)
＝|a－3|eq \r(a＋3)，
要使|a－3|eq \r(a＋3)＝(3－a)eq \r(a＋3)，
需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．
反思与感悟 对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负．
跟踪训练1 若eq \r(a2－2a＋1)＝a－1，求a的取值范围．
解 ∵eq \r(a2－2a＋1)＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二 利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
(1)eq \r(4,3－π4)；
(2)eq \r(a－b2)(a>b)；
(3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3).
解 (1)eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.
(2)eq \r(a－b2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟 n为奇数时eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝eq \r(n,an)＝a，a为任意实数均可；
n为偶数时，a≥0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n才有意义，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝a；
而a为任意实数eq \r(n,an)均有意义，且eq \r(n,an)＝|a|.
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)eq \r(7,－27)；
(2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.
(2)eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
类型三 有限制条件的根式的化简
例3 设－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3反思与感悟 n为偶数时，eq \r(n,an)先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
跟踪训练3 例3中，若将“－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
1．已知x5＝6，则x等于( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5,6)
C．－eq \r(5,6) D．±eq \r(5,6)
答案 B
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,m2) B.eq \r(3,m)
C.eq \r(6,m) D.eq \r(5,－m)
答案 C
3．(eq \r(4,2))4运算的结果是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．不确定
答案 A
4.eq \r(3,－8)的值是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－8
答案 B
5．化简eq \r(1－2x2)(2x>1)的结果是( )
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
答案 C
1．根式的概念：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.n为奇数时，x＝eq \r(n,a)，n为偶数时，x＝±eq \r(n,a)(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
2．掌握两个公式：(1)(eq \r(n,a))n＝a；(2)n为奇数，eq \r(n,an)＝a，n为偶数，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a， a≥0，,－a， a<0.))
3．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况．
一、选择题
1．已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2) B．－eq \r(10,2)
C.eq \r(210) D．±eq \r(10,2)
答案 D
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±eq \r(10,2).故选D.
2．化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
答案 D
解析 eq \r(4,16x8y4)＝
3．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)
D．a的n次方根是eq \r(n,a)
答案 C
解析 由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时eq \r(n,a)才有意义，故D错．
4．化简eq \r(e－1＋e2－4)等于( )
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
答案 A
解析 eq \r(e－1＋e2－4)＝eq \r(e－2＋2e－1e＋e2－4)
＝eq \r(e－2－2＋e2)＝eq \r(e－1－e2)
＝|e－1－e|＝e－e－1.
5．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
答案 C
解析 ∵eq \r(2－x)有意义，∴2－x≥0，即x≤2.
eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)＝eq \r(x－22)－eq \r(x－32)
＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)
＝2－x－3＋x＝－1.
6．5－2eq \r(6)的平方根是( )
A.eq \r(3)＋eq \r(2) B.eq \r(3)－eq \r(2)
C.eq \r(2)－eq \r(3) D.eq \r(3)－eq \r(2)，eq \r(2)－eq \r(3)
答案 D
解析 ±eq \r(5－2\r(6))＝±eq \r(3－2\r(6)＋2)＝±eq \r(\r(3)－\r(2)2)
＝±(eq \r(3)－eq \r(2))．
二、填空题
7．化简eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－43)的结果为________．
答案 0
解析 原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
8．若x<0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________.
答案 1
解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋eq \f(－x,－x)
＝－x＋x＋1＝1.
9. eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝________.
答案 3－2eq \r(2)
解析 方法一 eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝ eq \r(\f(\r(2)－12,\r(2)＋12))＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)
＝eq \f(\r(2)－12,\r(2)＋1\r(2)－1)＝3－2eq \r(2).
方法二 eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝ eq \r(\f(3－2\r(2)2,3＋2\r(2)3－2\r(2)))＝3－2eq \r(2).
10．若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)＝________.
答案 3
解析 由eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,2－x≥0，))即eq \f(1,2)≤x≤2.
故eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)
＝eq \r(2x－12)＋2eq \r(4,x－24)
＝|2x－1|＋2|x－2|
＝2x－1＋2(2－x)＝3.
三、解答题
11．求eq \r(3,－63)＋eq \r(4,\r(5)－44)＋eq \r(3,\r(5)－43)的值．
解 eq \r(3,－63)＝－6，
eq \r(4,\r(5)－44)＝|eq \r(5)－4|＝4－eq \r(5)，
eq \r(3,\r(5)－43)＝eq \r(5)－4，
∴原式＝－6＋4－eq \r(5)＋eq \r(5)－4＝－6.
12．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若0解 f(a＋eq \f(1,a))＝ eq \r(a＋\f(1,a)2－4)＝ eq \r(a2＋\f(1,a2)－2)
＝ eq \r(a－\f(1,a)2)＝|a－eq \f(1,a)|，
由于0故f(a＋eq \f(1,a))＝eq \f(1,a)－a.
13．化简eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(7,y－x7).
解 原式＝eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x≥y，,2y－x，x＜y.))
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
a∈R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)