数学八年级上册第3章 一元一次不等式综合与测试优秀一课一练

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知识提要
练习
选择题
1．一元一次不等式2（x﹣1）≥3x﹣3的解在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【解答】B解：2（x﹣1）≥3x﹣3，2x﹣2≥3x﹣3，2x﹣3x≥﹣3+2，﹣x≥﹣1，x≤1，
在数轴上表示为：
(2017·宿迁)已知4＜m＜5，则关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－m＜0，,4－2x＜0))的整数解共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】 B 解不等式x－m＜0，得x＜m.解不等式4－2x＜0，得x＞2.
∵4＜m＜5，∴不等式组x－m＜0，4－2x＜0的整数解为3，4，共2个．
(2017·扬州)已知x＝2是不等式(x－5)·(ax－3a＋2)≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是( )
A. a＞1 B. a≤2C. 1＜a≤2 D. 1≤a≤2
【解析】 C ∵x＝2是不等式(x－5)(ax－3a＋2)≤0的解，∴(2－5)(2a－3a＋2)≤0，解得a≤2.
∵x＝1不是这个不等式的解，∴(1－5)(a－3a＋2)＞0，解得a＞1.∴1＜a≤2.
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是( B )
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm
C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm
【解】B 设AB＝x(cm)，则AC＝x(cm)，BC＝(20－2x) cm.根据三角形的三边关系，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋x>20－2x>0，,20－2x＋x>x，))解得5若a＞b，则下列各式一定成立的是 ( )
ma＞mb B．c2a＞c2b
C．1－a＞1－b D．(1＋c2)a＞(1＋c2)b
【解析】D选项A中，不等式的两边都乘“m”，错把m当做正数，而实际上m可能为正，也可能为负，也可能为零；选项B中，把c2当做正数，而实际上c2≥0；选项C中，不等式两边都乘“－1”时，应改变不等号的方向．
关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞a，,x＞1))的解为x＞1，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．a＜1C．a≥1 D．a≤1
【解析】D由解不等式组口诀“大大取大”可得a＜1，但是当a＝1时原不等式组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞1，,x＞1))
解仍为x＞1.故a≤1.
7．已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2a－3，,2x≥3（x－2）＋5))仅有三个整数解，则a的取值范围是( A )
A. eq \f(1,2)≤a＜1 B. eq \f(1,2)≤a≤1
C. eq \f(1,2)＜a≤1 D. a＜1
【解】A 解不等式2x≥3(x－2)＋5，得x≤1.由题意得，不等式组的解为2a－3∵不等式组仅有三个整数解，∴这三个整数解为1，0，－1，∴－2≤2a－3<－1，
解得eq \f(1,2)≤a＜1.
8．关于x，y的方程组，若2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（ ）
A.-1【解答】B解：，解得,,∵2＜k＜4∴0＜x﹣y＜1
9．关于x的不等式组的所有整数解的积为2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣2 C．﹣3≤m＜﹣2D．﹣3＜m≤﹣2
【解答】C解：由x≤﹣且不等式组的所有整数解的积为2知整数解为﹣1、﹣2这2个，
所以﹣3≤m＜﹣2，
如图的宣传单为某公司设计与印刷卡片计价方式的说明，小娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩卖．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，要使得卡片全部售出后的利润超过成本的2成，则她至少需印卡片( C )
A. 112张 B. 121张C. 134张 D. 143张
【解】C 设小娜需印x张卡片．由题意，得15x－1000－5x＞0.2(1000＋5x)，
解得x＞133eq \f(1,3).∵x为整数，∴x≥134，∴她至少需印134张卡片．
11．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9-9(x-1)>0 B．7x+9-9(x-1)<8
C． D．
【解答】C解：（x﹣1）位同学植树棵树为9×（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为：，即．
12．若关于x的不等式组有解，且关于x的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．-5B．-9C．-12D．-16
【解答】B解：，解①得：x≥1+4k，解②得：x≤6+5k，
∴不等式组的解集为：1+4k≤x≤6+5k，1+4k≤6+5k，k≥﹣5，
解关于x的方程kx=2（x﹣2）﹣（3x+2）得，x=﹣，
因为关于x的方程kx=2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，
当k=﹣4时，x=2，当k=﹣3时，x=3，当k=﹣2时，x=6，∴﹣4﹣3﹣2=﹣9；故选：B．
二、填空题
1．若（m﹣2）x|3﹣m|+2≤7是关于x的一元一次不等式，则m= 4 ．
【解答】解：由一元一次不等式的定义可知：解得：m=4故答案为：4
2．不等式组1＜eq \f(1,2)x－2≤2的所有整数解的和为__15__．
【解】 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2>1，①,\f(1,2)x－2≤2.②))解不等式①，得x＞6.解不等式②，得x≤8，
则不等式组的解为6＜x≤8，∴不等式组的所有整数解的和为7＋8＝15.
3．已知x﹣y=3，且x＞1，y＜0，若m=x+y，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜3 ．
【解答】解：∵x﹣y=3，∴x=y+3而x＞1，∴y+3＞1，y＞﹣2
又y＜0，∴﹣2＜y＜0①再由x﹣y=3得y=x﹣3又注意到y＜0∴x﹣3＜0，x＜3
∵x＞1∴1＜x＜3 ②①+②得：﹣2+1＜x+y＜3+0
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜3，故答案为：﹣1＜m＜3．
4．若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数．例如，[1.6]＝1，[π]＝3，[－2.82]＝－3.[x]＋1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]＋1.利用这个不等式，求满足[x]＝2x－1的所有解，其所有解为x＝0.5或x＝1．
【解】 ∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]＋1，[x]＝2x－1，
∴2x－1≤x＜2x－1＋1，解得0＜x≤1.又∵2x－1是整数，∴x＝0.5或x＝1.
5．已知3x－y＝3a2－6a＋9，x＋y＝a2＋6a－9，若x≤y，则实数a的值为__3__．
【解】 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝3a2－6a＋9，,x＋y＝a2＋6a－9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a2，,y＝6a－9.))
∵x≤y，∴a2≤6a－9，整理，得(a－3)2≤0，故a－3＝0，解得a＝3.
6.已知x，y满足2x·4y＝8.当0≤x≤1时，y的取值范围是1≤y≤eq \f(3,2)．
【解】 ∵2x·4y＝8，∴2x·22y＝23，∴x＋2y＝3，∴x＝3－2y.
∵0≤x≤1，∴0≤3－2y≤1，∴1≤y≤eq \f(3,2).
7．某班有48名学生会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多有9人，但不少于5人，则会下围棋的有19或20人．
【解】 设会下围棋的有x人，则会下象棋的有(2x－3)人．
由题意，得5≤x＋(2x－3)－48≤9，解得eq \f(56,3)≤x≤20.∵x 为正整数，∴x＝19或20.
三、解答题
1． 解不等式（组）：
（1） （2）
（4）
解：（1）x>0
（2）-5≥■，2x-30≥4x+1-21，2x-4x≥1-21+30，-2x≥10，x≤-5.
（3）解不等式①得：x<4，解不等式②得：x≥-2，所以不等式组的解集为：-2≤x＜4，
（4）2x－6＜3x，得x＞－6.解eq \f(x＋2,5)－eq \f(x－1,4)≥0，得x≤13.∴原不等式组的解为－62.若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－a＞0，,x－a＜1))的解中的任何一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，求a的取值范围．
【解析】 解x－a＞0，得x＞a.解x－a＜1，得x＜a＋1.∴该不等式组的解为a＜x＜a＋1.
∵a＜x＜a＋1不在2≤x≤5的范围内，画出数轴如解图所示．
∴当a＜x＜a＋1在2≤x≤5的左侧时，需满足a＋1≤2，即a≤1；
当a＜x＜a＋1在2≤x≤5的右侧时，需满足a≥5.
∴a的取值范围是a≤1或a≥5.
试确定实数a的取值范围，使不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(x＋1,3)>0，,x＋\f(5a＋4,3)>\f(4,3)（x＋1）＋a))恰好有两个整数解．
【解】 解不等式eq \f(x,2)＋eq \f(x＋1,3)>0，得x＞－eq \f(2,5).解不等式x＋eq \f(5a＋4,3)>eq \f(4,3)(x＋1)＋a，得x＜2a.
∴原不等式组的解为－eq \f(2,5)∵该不等式组恰好有两个整数解，∴整数解为0和1，∴1＜2a≤2，∴eq \f(1,2)4．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[－2.5]＝－3；用〈a〉表示大于a的最小整数，例如：〈2.5〉＝3，〈4〉＝5，〈－1.5〉＝－1.解决下列问题：
(1)[－4.5]＝__－5__，〈3.5〉＝__4__．
(2)若[x]＝2，则x的取值范围是2≤x<3；若〈y〉＝－1，则y的取值范围是－2≤y<－1．
(3)已知x，y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3[x]＋2〈y〉＝3，,3[x]－〈y〉＝－6，))求x，y的取值范围．
【解】 (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3[x]＋2〈y〉＝3，,3[x]－〈y〉＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1([x]＝－1，,〈y〉＝3，))∴－1≤x<0，2≤y<3.
5．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
(1)甲，乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【解】 (1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格为2.5x元．
由题意，得eq \f(800,x)－eq \f(800,2.5x)＝24，解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的根，且符合题意，则2.5x＝50.
答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元．
设购买甲图书的本数为x，则购买乙图书的本数为2x＋8.
由题意，得50x＋20(2x＋8)≤1060，解得x≤10，故2x＋8≤28.
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
6．已知关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－7－a，,x－y＝1＋3a))的解中，x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围．
(2)化简：|a－3|＋|a＋2|.
(3)在a的取值范围内，当a为何整数时，不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1?
【解】 (1)解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－7－a，,x－y＝1＋3a，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a－3，,y＝－2a－4.))∵x为非正数，y为负数，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,y＜0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,－2a－4＜0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤3，,a>－2.))∴a的取值范围是－2＜a≤3.
(2)∵－2＜a≤3，∴a－3≤0，a＋2＞0，∴|a－3|＋|a＋2|＝3－a＋a＋2＝5.
(3)不等式2ax＋x＜2a＋1可化简为(2a＋1)x＜2a＋1.
∵不等式的解为x＞1，∴2a＋1＜0，∴a＜－eq \f(1,2).
又∵－2＜a≤3，∴－2＜a＜－eq \f(1,2).∵a为整数，∴a＝－1.
7．母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2∶3，单价和为200元．
(1)分别求A，B两种礼盒的单价．
(2)该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
(3)根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在(2)的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，则m的值是多少？此时店主获利多少元？
【解】 (1)设A种礼盒的单价为2x元，B种礼盒的单价为3x元，由题意，得2x＋3x＝200，
解得x＝40，则2x＝80，3x＝120.答：A种礼盒的单价为80元，B种礼盒的单价为120元．
(2)设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80a＋120b＝9600，,a≤36，,b≤2a，))解得30≤a≤36.
∵a，b的值均为整数，∴a的值为30，33，36，∴共有三种方案．
(3)设店主获利为w元，则w＝10a＋(18－m)b.
由80a＋120b＝9600，得a＝120－ eq \f(3,2)b，则w＝(3－m)b＋1200.
∵要使(2)中方案获利都相同，∴3－m＝0，∴m＝3，此时店主获利1200元．